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Ok, gut, dass Du saubere Notation verwendest.
Das Kürzen und Erweitern mit dx und Co sind Merkregeln, keine strengen math. Umformungsregeln.
dA/dx=f(x) heißt, dass die Funktion f die Ableitung der Funktion A ist. Um das zu beweisen, verwendet man die Def. der Ableitung über den Grenzwert von Differenzenquotienten. So wolltest Du ja auch anfangen. Das schreibt man aber nicht locker in wenigen Zeilen hin, dahinter steckt ja, dass das Integrieren die Umkehrung des Differenzierens ist. Den Beweis dafür findet man in vielen Büchern.
Das Kürzen und Erweitern mit dx und Co sind Merkregeln, keine strengen math. Umformungsregeln.
dA/dx=f(x) heißt, dass die Funktion f die Ableitung der Funktion A ist. Um das zu beweisen, verwendet man die Def. der Ableitung über den Grenzwert von Differenzenquotienten. So wolltest Du ja auch anfangen. Das schreibt man aber nicht locker in wenigen Zeilen hin, dahinter steckt ja, dass das Integrieren die Umkehrung des Differenzierens ist. Den Beweis dafür findet man in vielen Büchern.
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mikn
Lehrer/Professor, Punkte: 40.31K
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Danke, Ich habe mir das grafisch für mich schon hergeleitet, dass \begin{align*} \frac{dA}{dx} = f(x) \end{align*}
mit
\begin{align*}
A &\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} \\
f &\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} \\
A(x) &= \int_{a}^{x} f(t) \, \mathrm{d}t
\end{align*}
Was für mich weiterhin unklar bleibt ist
\begin{align*}
\frac{dA}{dx} * dx = f(x) * dx \stackrel{?}{=} dA
\end{align*}
und da ist mein Problem. Ich möchte es nicht als Merkregel haben, ich möchte es im besten Fall bewiesen haben. Weil ich zerstöre ja quasi die Definition, weil das ja kein richtiger Bruch ist sondern eine zusammengehörige Definition.
Anmerkung:
einen Beweis für \begin{align*} \frac{dl}{dx} = \frac{dl}{dm} \cdot \frac{dm}{dx} \end{align*}
habe ich bereits. Jetzt bräuchte ich quasi noch einen für \begin{align*} \frac{dl}{1} = \frac{dl}{dm} \cdot \frac{dm}{1} \end{align*}
Die Definition dann über den Differenzenquotient, sodass gilt \begin{align*} \frac{dA}{dx} = f(x) , dann\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta A}{\Delta x} \cdot dx \stackrel{?}{=} dA \end{align*}
hilft mir ja nicht weiter leider ─ mathemarv 26.07.2026 um 12:40
mit
\begin{align*}
A &\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} \\
f &\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} \\
A(x) &= \int_{a}^{x} f(t) \, \mathrm{d}t
\end{align*}
Was für mich weiterhin unklar bleibt ist
\begin{align*}
\frac{dA}{dx} * dx = f(x) * dx \stackrel{?}{=} dA
\end{align*}
und da ist mein Problem. Ich möchte es nicht als Merkregel haben, ich möchte es im besten Fall bewiesen haben. Weil ich zerstöre ja quasi die Definition, weil das ja kein richtiger Bruch ist sondern eine zusammengehörige Definition.
Anmerkung:
einen Beweis für \begin{align*} \frac{dl}{dx} = \frac{dl}{dm} \cdot \frac{dm}{dx} \end{align*}
habe ich bereits. Jetzt bräuchte ich quasi noch einen für \begin{align*} \frac{dl}{1} = \frac{dl}{dm} \cdot \frac{dm}{1} \end{align*}
Die Definition dann über den Differenzenquotient, sodass gilt \begin{align*} \frac{dA}{dx} = f(x) , dann\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta A}{\Delta x} \cdot dx \stackrel{?}{=} dA \end{align*}
hilft mir ja nicht weiter leider ─ mathemarv 26.07.2026 um 12:40
Durch die Festellung von \begin{align*}
dA = f(x) dx
\end{align*}
und
\begin{align*}
\frac{dA}{dx} &= f(x)
\end{align*}
Da beides gilt (durch meinen grafischen Beweis). kann ich auch zwischen diesen hin und hernavigieren mit Arithmetik. Passt das so? ─ mathemarv 26.07.2026 um 22:32
dA = f(x) dx
\end{align*}
und
\begin{align*}
\frac{dA}{dx} &= f(x)
\end{align*}
Da beides gilt (durch meinen grafischen Beweis). kann ich auch zwischen diesen hin und hernavigieren mit Arithmetik. Passt das so? ─ mathemarv 26.07.2026 um 22:32
Wie gesagt, das sind Merkregeln. Wenn Du dA=f(x)dx beweisen willst (nicht grafisch), dann liefere eine Definition von dA. Ich kenne keine. Für mich sind dA, dx usw. nicht separat definiert, sondern treten nur als Bruch geschrieben auf(wohlgemerkt: nur geschrieben, es ist ja in Wirklichkeit kein Bruch). Liefere also eine präzise Def. von dA, dx usw., bevor Du nach so einem Beweis suchst.
─
mikn
26.07.2026 um 23:20
