Im ersten Versuch wurden Lösungen für x3 berechnet (es hieße also x31 und x32) und alpha einfach gleich 1 gesetzt, ansonsten wäre die Lösung ja in Abhängigkeit von alpha. Das war aber nicht gefragt, sondern für welche Werte von alpha es Lösungen gibt. Also ist der zweite Ansatz der richtige.

Keine von beiden ist richtig.
1. Variante: Die Gauß-Umformungen kannst Du so machen. Dann liest Du die auftretenden Fälle an der Determinante (Produkt der Diagonalelemente) ab und prüfst, ob keine/genau eine/unendlich viele Lösungen auftreten. Das Auflösen der dritten Gleichung hat keinen Sinn.
2. Variante: Gauß-Umformungen ok. Aber dann fallen ohne jede Begründung drei Fälle vom Himmel. Das geht so ohne weiteres nicht und außerdem sind dabei nicht alle Fälle erfasst. Korrektes Vorgehen s.o.