Burnsides Lemma-wo liegt mein Fehler?

Aufrufe: 165     Aktiv: 10.09.2022 um 13:34

0
Hallo, 
ich soll die Anzahl der Färbungen eines Kreises mit 5 Ecken zählen. Ich habs mit Burnsides Lemma gemacht. Laut Musterlösung ist das Ergebnis 30. Ich habe aber 39. Wo ist mein Fehler? Danke im Voraus.

EDIT vom 07.09.2022 um 13:46:

Originale Aufgabenstellung:
Diese Frage melden
gefragt

Punkte: 33

 

Also für mich sieht das soweit richtig aus. Vielleicht kannst du ja mal beim Schreiber der Musterlösung nachfragen, wieso da 30 rauskommen sollte.   ─   42 07.09.2022 um 17:26

Alles klar danke!   ─   huhu123 08.09.2022 um 12:28

Ich kenne Burnsides Lemma nicht und hab mal versucht, alle Färbungen aufzuschreiben. Dabei komme ich auf 30. Kann natürlich welche übersehen haben...
Bei Deiner Frage bei mathelounge findet sich ja auch ein Argument für 30.
Und noch was (nach etwas Lesen über LvB): eine Halskette zu färben ist etwas anderes als die Knoten eines Graphen zu färben.
  ─   mikn 08.09.2022 um 12:52

Ich habe mir mal von einem Computer helfen lassen und komme dabei auf 39 unterschiedliche Färbungen (vorausgesetzt zwei Färbungen sind genau dann gleich, wenn sie durch ein Element der Diedergruppe ineinander überführt werden können).   ─   42 08.09.2022 um 14:17

Es kann am Begriff der Gleichheit liegen. Ich verstehe unter Färbung, wie in der Aufgabenstellung genannt, eine Abbildung (mit der einzigen Bedingung, dass zwei benachbarte Knoten versch. Farbe haben müssen - Unterschied Halskette-Graph).
@42 Kannst Du die 39 Färbungen hier reinstellen?
  ─   mikn 08.09.2022 um 14:30

Danke @mikn, ich glaube das ist ein guter Punkt. Ich kenne es so, dass eine Färbung erstmal beliebig sein darf. Fordert man zusätzlich, dass benachbarte Knoten verschieden gefärbt sein müssen, dann nennt man die Färbung "gültig" oder "zulässig". Ich habe nicht daran gedacht, dass hier die Definition vielleicht anders ist.
Wenn ich alle gültigen Färbungen aufschreibe, dann komme ich auch auf 30.
Mir ist dann allerdings nicht ganz klar, wie einem hierbei das Burnside-Lemma helfen soll.
  ─   42 08.09.2022 um 15:49

Danke an alle für die Hilfe! @42, Burnside ist hier glaube ich doch nicht anwendbar. Ich habe einen Denkfehler gehabt. Man muss es denke ich „zufuß“, wie ihr es gemacht habt, machen.   ─   huhu123 10.09.2022 um 13:34
Kommentar schreiben
0 Antworten