Orthogonale Matrix

Aufrufe: 68     Aktiv: 25.02.2021 um 14:23

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Ich bin gerade dabei, diese Aufgabe zu lösen.

Ich habe dafür 1/wurzel6 mit den einzelnen Komponenten multipliziert und überprüft, dass alle Spaltenvektoren normiert sind. Das ist der Fall.

Um die Orthogonalität zu zeigen, würde ich die Matrix mit der transponierten Matrix multiplizieren. Wenn die Einheitsmatrix als Ergebnis herauskommt, ist die Matrix orthogonal.

Für die b) würde ich sagen, dass ich in a) gezeigt hab, dass sie orthogonal ist und für orth. Matrixen ist die transponierte Matrix gleich der invertierten Matrix.

Meine Frage: geht das irgendwie eleganter und schneller? Mit den Wurzeln herumzuhantieren ist doch ganz schon mühselig und die Komponenten alle mit 1/wurzel6 zu multiplizieren und des dann mit dem Falk'schen Schema mit der A^T zu multiplizieren ist auch kein Spaß. Was wäre eleganter?

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Es reicht, wenn du zeigst, dass \(AA^t=6E_3\) ist, dann folgt daraus \((\frac1{\sqrt6}A)(\frac1{\sqrt6}A)^t=(\frac1{\sqrt6})^2(AA^t)=\frac166E_3=E_3\). Damit sparst du dir zumindest die \(\sqrt6\) und die Brüche. Aber \(AA^t\) musst du ausrechnen, da gibt es keinen einfacheren Weg. Aber so schlimm ist das gar nicht, mit ein bisschen Übung gehen Matrixmultiplikationen recht schnell.

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Gilt das für die a) oder für die b)? Könnte ich für die a) nicht auch die Spalten mit sich selbst skalar multiplizieren und dann miteinander. Bei sich selbst muss 1 rauskommen (normiert) und mit den anderen Spalten muss jeweils 0 rauskommen (orthogonal zueinander).   ─   akimboslice 22.02.2021 um 15:12

Für die (a) kannst du das machen, ja. Allerdings musst du neun mal Vektoren multiplizieren, das ist die selbe Rechnung wie \(AA^t\) (der Wert in \(AA^t\) an der Stelle \((i,j)\) ist genau das Skalarprodukt von Vektoren \(i\) und \(j\)), nur viel mehr Schreibarbeit.
Für die (b): Du weißt jetzt, dass \(AA^t=6E_3\) gilt. Daraus kannst du fast unmittelbar das Inverse zu \(A\) ablesen.
  ─   stal 23.02.2021 um 11:37

Ich steh auf dem Schlauch. Ich hab mich dafür entschieden, die a) so zu lösen, dass ich zeige, dass die Spalten normiert und orthogonal zueinander sind. Also hab ich das mit der Einheitsmatrix nicht.
Wie genau kann ich die Inverse der nicht-orthogonalen Matrix A bestimmen? Da häng ich grad.
  ─   akimboslice 25.02.2021 um 14:16

Dass \(AA^t=6E_3\) gilt, weißt du trotzdem, weil du ja nachgerechnet hast, dass \(\frac1{\sqrt6}A\) orthogonal ist. Teile die Gleichung durch \(6\), um auf \(A(\frac16A^t)=E_3\) zu kommen. Damit folgt sofort \(A^{-1}=\frac16A^t\).   ─   stal 25.02.2021 um 14:23

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