2
Ich schreib mal hier weiter, weil es in Richtung Antwort geht (könnte ich mir denken) und das nicht im Kommentar bleiben sollte.
Fortsetzung des Dialogs mit @karate: (es gibt übrigens ja gar keine Frage von user115e72, daher diskutiere ich mal mit Dir weiter, weil mir nicht klar ist, was user115e72 eigentlich will).
Nein. Anschauliches Gegenbeispiel: Wir nehmen eine Strecke, z.B. $D=[0,1]\times \{0\}$. Länge wäre 1. Als Integrationsbereich ist $D$ eine Linie, also ein Rechteck mit Länge 1 und Breite 0, das zugehörige Integral wäre $\int_D 1\,d(x,y)= \int_0^0 \int_0^11\, dx\,dy =0$. Bei einer gebogenen Linie ist das genauso. Man kann aus 4 Strecken vom Typ $D$ den Rand eines Quadrats zusammensetzen und dann sagen, das Quadrat $[0,1]\times [0,1]$ ist R-messbar, weil $\int_{Rand\,des\,Quadrats} =\int_{D1}+\int_{D2}+\int_{D3}+\int_{D4}=0$.
Fortsetzung des Dialogs mit @karate: (es gibt übrigens ja gar keine Frage von user115e72, daher diskutiere ich mal mit Dir weiter, weil mir nicht klar ist, was user115e72 eigentlich will).
Nein. Anschauliches Gegenbeispiel: Wir nehmen eine Strecke, z.B. $D=[0,1]\times \{0\}$. Länge wäre 1. Als Integrationsbereich ist $D$ eine Linie, also ein Rechteck mit Länge 1 und Breite 0, das zugehörige Integral wäre $\int_D 1\,d(x,y)= \int_0^0 \int_0^11\, dx\,dy =0$. Bei einer gebogenen Linie ist das genauso. Man kann aus 4 Strecken vom Typ $D$ den Rand eines Quadrats zusammensetzen und dann sagen, das Quadrat $[0,1]\times [0,1]$ ist R-messbar, weil $\int_{Rand\,des\,Quadrats} =\int_{D1}+\int_{D2}+\int_{D3}+\int_{D4}=0$.
Diese Antwort melden
Link
geantwortet
mikn
Lehrer/Professor, Punkte: 38.93K
Lehrer/Professor, Punkte: 38.93K
Okei aber ich sehe noch nicht ganz ein, dass es nicht die Länge des Kreises geben sollte, denn wenn ich z.B. den Einheitskreis parametrisiere mit $\gamma(t)= (\cos (t),\sin(t))$ dann wäre doch $\mu(\partial X)=\int_{\gamma} 1 ds=\int_0^{2\pi }||\gamma‘(t)||_2 dt=\int_0^{2\pi} ||(-\sin t, \cos t)||_2 dt=\int_0^{2\pi} \sqrt{(-\sin t)^2+(\cos t)^2}dt=\int_0^{2\pi} 1 dt=2\pi$ und das enspricht ja gerade der Länge des Kreises? Ich sehe nicht wieso du bei meinem letzten Kommentar nein geschrieben hast, sorry.
─
karate
26.10.2022 um 00:13
Super vielen Dank!
─
karate
26.10.2022 um 06:27
Danke für die ausführlichen Antworten.
Lebesque hatte ich als Tag benutzt, weil es messbar nur im Doppelpack mit Lebesque gibt. Was ich mit meinem Komentar dazu meinte, war dass er in der Vorlesung/im Skript nie aufgetaucht ist, hier natürlich schon.
Meine Frage ist im Endeffekt warum mein Beispiel falsch war.
Mikn hat es in seiner Antwort glaube ich ganz gut gezeigt. Weil D selber ja in diesem Fall Teilmenge R^2 und ausgedehnt ist, kommt bei einem Integral über eine nicht ausgedehnte Teilfäche 0 raus. Das ist wie wenn man nach dem Flächeninhalt einer Linie fragt.
Auch bei dem Kurvenintegral würde dann noch immer eine Richtung "senkrecht" zu der Kurve fehlen, bei der über die Breite in die Kreisscheibe integriert wird. Da die Breite aber immer 0 ist, kommt auch bei dem Integral null raus, auch wenn das Kurvenintegral selber ungleich 0 ist.
Findet ihr das auch plausibel? ─ user115e72 26.10.2022 um 07:40
Lebesque hatte ich als Tag benutzt, weil es messbar nur im Doppelpack mit Lebesque gibt. Was ich mit meinem Komentar dazu meinte, war dass er in der Vorlesung/im Skript nie aufgetaucht ist, hier natürlich schon.
Meine Frage ist im Endeffekt warum mein Beispiel falsch war.
Mikn hat es in seiner Antwort glaube ich ganz gut gezeigt. Weil D selber ja in diesem Fall Teilmenge R^2 und ausgedehnt ist, kommt bei einem Integral über eine nicht ausgedehnte Teilfäche 0 raus. Das ist wie wenn man nach dem Flächeninhalt einer Linie fragt.
Auch bei dem Kurvenintegral würde dann noch immer eine Richtung "senkrecht" zu der Kurve fehlen, bei der über die Breite in die Kreisscheibe integriert wird. Da die Breite aber immer 0 ist, kommt auch bei dem Integral null raus, auch wenn das Kurvenintegral selber ungleich 0 ist.
Findet ihr das auch plausibel? ─ user115e72 26.10.2022 um 07:40
Also das Integral über den Kreisrand wäre z.B. gegeben durch
Integral {0, 2pi} Integral {r, r} 1*r*dr dphi=0
Mit r= Radius und phi= Winkel in RAD ─ user115e72 26.10.2022 um 08:22
Integral {0, 2pi} Integral {r, r} 1*r*dr dphi=0
Mit r= Radius und phi= Winkel in RAD ─ user115e72 26.10.2022 um 08:22
Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden.
Mikn wurde bereits informiert.