Verständnisfrage zu mehrdimensionaler Integration/Nullmengen

Aufrufe: 306     Aktiv: 26.10.2022 um 11:37
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Hallo,
wir haben zur Riemann-Integrierbarkeit von mehrdimensionalen Funktionen dieses Kriterium bekommen:

Eine beschränkte Menge X ⊂ R^n ist genau dann R-messbar, wenn µ(∂X) = 0 ist.
Wobei µ(D) = Integral über die Menge D mit 1 als Integrand (also Flächeninhalt/Volumen von D), und ∂X der Rand von der Menge X ist.
Der Punkt ist, dass eine Funktion auf X nur dann Riemann integrierbar ist, wenn diese R-messbar ist, also µ(∂X) = 0.

Wenn man jetzt als Beispiel für die Menge X eine Kreisscheibe in der x-y-Ebene mit Radius R nimmt, dann wäre der Rand ein Kreis mit Radius R.
Und das Integral würde meines Verstehens sich zu 1 * 2*pi*R ergeben, also ungleich 0.
Bei diesem Bespiel kann man aber auf jedenfall jegliche stetige Funktionen über der Menge X integrieren, X muss also R-messbar sein.
Freue mich über jegliche Hinweise
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gefragt

Student, Punkte: 49

 
Sprichst du hier von einem Lebesgue Integral? Also meinst du $\mu(D)=\int_D 1 d\mu$ wobei $\mu$ das Lebesguemass ist?   ─   karate 25.10.2022 um 08:22
Nein, Lebesque wurde nie erwähnt.
µ(D) wurde auch die charakteristische Funktion genannt. Auf Wikipedia habe ich auch den Begriff Indikatorfunktion gefunden, die kenn ich auch von der Wahrscheinlichkeitstheorie.
Im dem Fall sollte mein Beispiel doch passen, oder?
Indikatorfunktion integriert über den Rand einer Kreisscheibe ungleich 0?   ─   user115e72 25.10.2022 um 21:43
hmm also den Begriff Indikatorfunktion habe ich anders verstanden. Denn wenn du eine Menge $X$ hast und $U\subset X$ dann ist für mich die Indikatorfunktion die Funktion $1_{U}:X\rightarrow \{0,1\}$ so dass $1_U(x)=0$ falls $x\not \in U$ und $1_U(x)=1$ falls $x\in U$. Bemerke dabei dass man die Indikatorfunktion teils auch als $\chi_U$ schreibt, jedoch bedeutet sie das gleiche. Nun sehe ich aber nicht wieso $\mu$ die Indikatorfunktion sein sollte.

Du könntest meiner Meinung nach höchstens sagen, dass wenn $D\subset \Bbb{R}$ ist, dann ist $\mu(D)=\int_{\Bbb{R}} \chi_D(x) dx$ da hast du deine Indikatorfunktion im Integral.

Aber vielleicht sehe ich da etwas nicht und @mikn könnte mir auf die Sprünge helfen.   ─   karate 25.10.2022 um 22:28
@Mikn
Aber angenommen $\partial X=\{x^2+y^2=r^2\}$. Wenn ich doch dann mit seiner Definition $\mu (\partial X)$ berechne so erhalte ich doch $$\mu(\partial X)=\int_{\{x^2+y^2=r^2\}}1 ds$$ wobei ich doch $\{x^2+y^2=r^2\}$ als eine Kurve betrachten könnte nicht? Würde dann nicht gelten dass $\mu(\partial X)$ gleich der Länge der Kurve wäre? Aber vielleicht liege ich da falsch.   ─   karate 25.10.2022 um 23:02
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Ich schreib mal hier weiter, weil es in Richtung Antwort geht (könnte ich mir denken) und das nicht im Kommentar bleiben sollte.
Fortsetzung des Dialogs mit @karate: (es gibt übrigens ja gar keine Frage von  user115e72, daher diskutiere ich mal mit Dir weiter, weil mir nicht klar ist, was user115e72 eigentlich will).
Nein. Anschauliches Gegenbeispiel: Wir nehmen eine Strecke, z.B. $D=[0,1]\times \{0\}$. Länge wäre 1. Als Integrationsbereich ist $D$ eine Linie, also ein Rechteck mit Länge 1 und Breite 0, das zugehörige Integral wäre $\int_D 1\,d(x,y)= \int_0^0 \int_0^11\, dx\,dy =0$. Bei einer gebogenen Linie ist das genauso. Man kann aus 4 Strecken vom Typ $D$ den Rand eines Quadrats zusammensetzen und dann sagen, das Quadrat $[0,1]\times [0,1]$ ist R-messbar, weil $\int_{Rand\,des\,Quadrats} =\int_{D1}+\int_{D2}+\int_{D3}+\int_{D4}=0$.
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Lehrer/Professor, Punkte: 34.37K

 
Okei aber ich sehe noch nicht ganz ein, dass es nicht die Länge des Kreises geben sollte, denn wenn ich z.B. den Einheitskreis parametrisiere mit $\gamma(t)= (\cos (t),\sin(t))$ dann wäre doch $\mu(\partial X)=\int_{\gamma} 1 ds=\int_0^{2\pi }||\gamma‘(t)||_2 dt=\int_0^{2\pi} ||(-\sin t, \cos t)||_2 dt=\int_0^{2\pi} \sqrt{(-\sin t)^2+(\cos t)^2}dt=\int_0^{2\pi} 1 dt=2\pi$ und das enspricht ja gerade der Länge des Kreises? Ich sehe nicht wieso du bei meinem letzten Kommentar nein geschrieben hast, sorry.   ─   karate 26.10.2022 um 00:13
Super vielen Dank!   ─   karate 26.10.2022 um 06:27
Danke für die ausführlichen Antworten.
Lebesque hatte ich als Tag benutzt, weil es messbar nur im Doppelpack mit Lebesque gibt. Was ich mit meinem Komentar dazu meinte, war dass er in der Vorlesung/im Skript nie aufgetaucht ist, hier natürlich schon.
Meine Frage ist im Endeffekt warum mein Beispiel falsch war.

Mikn hat es in seiner Antwort glaube ich ganz gut gezeigt. Weil D selber ja in diesem Fall Teilmenge R^2 und ausgedehnt ist, kommt bei einem Integral über eine nicht ausgedehnte Teilfäche 0 raus. Das ist wie wenn man nach dem Flächeninhalt einer Linie fragt.
Auch bei dem Kurvenintegral würde dann noch immer eine Richtung "senkrecht" zu der Kurve fehlen, bei der über die Breite in die Kreisscheibe integriert wird. Da die Breite aber immer 0 ist, kommt auch bei dem Integral null raus, auch wenn das Kurvenintegral selber ungleich 0 ist.
Findet ihr das auch plausibel?   ─   user115e72 26.10.2022 um 07:40
Also das Integral über den Kreisrand wäre z.B. gegeben durch
Integral {0, 2pi} Integral {r, r} 1*r*dr dphi=0
Mit r= Radius und phi= Winkel in RAD   ─   user115e72 26.10.2022 um 08:22

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Mikn wurde bereits informiert.