Fläche zwischen zwei Graphen berechnen

Aufrufe: 423     Aktiv: 26.04.2022 um 13:01
0

Hi, 

die Fläche zwischen zwei Graphen berechnet man mit der Formel: Integral f(x)-g(x) dx.

Bisher hatten wir es so, dass man wissen muss welche Funktion „über“ der anderen Funktion ist. Sich die Funktionen sozusagen im Koordinatensystem vorstellen muss.

Existiert eine Möglichkeit das zu umgehen? Ich hätte in Richtung irgendwas mit Betrag gedacht.

VG

Diese Frage melden
gefragt

Punkte: 10

 
Kommentar schreiben
3 Antworten
1
Setz den Betrag um das gesamte Integral, dann ist es egal. Wenn man es "falschrum" macht, bekommt man nämlich lediglich ein falsches Vorzeichen. Wenn es mehrere Schnittpunkte gibt, musst du das Integral aber dennoch zerlegen.
Diese Antwort melden
geantwortet

Selbstständig, Punkte: 27.28K

 
Danke für deine Antwort. Also wenn etwas negatives herauskommt, dann einfach Betrag?   ─   tannenbaum234 24.04.2022 um 21:24
Oh sry ... durch das Formel eintippen habe ich länger gebraucht. Dann hat cauchy das schon kurz und schmerzlos zusammengefasst.^^   ─   maqu 24.04.2022 um 21:26
Ich denke der Grund ist: Wenn man theoretisch den Flächeninhalt zwischen der unteren Funktion und der x Achse berechnen würde ist der in einem festgelegten Intervall kleiner, als der zwischen der oberen und der x-Achse. Durch das subtrahieren würde eine negative Zahl herauskommen. Oder?   ─   tannenbaum234 24.04.2022 um 21:31
Zum Beispiel bei 3-2=-1. Das Ergebnis ist -1 unser Betrag davon wäre 1. Da der Abstand der gleiche ist, also der Betrag.

Oder 3-8=-5. Betrag ist 5 da gleicher Abstand vom Nullpunkt.

So hatte ich es verstanden   ─   tannenbaum234 24.04.2022 um 21:43
@tannenbaum234 als Tipp stelle dir beide Differenzfunktionen grafisch vor und deren dazugehöriger eingeschlossener Flächeninhalt … dann solltest du erkennen was cauchy meint   ─   maqu 24.04.2022 um 21:55
Das wollte ich eigentlich mit der simplen Rechnung verdeutlichen. Weil, wenn man das Integral bildet, bekommt man am Ende eine Zahl raus. Wenn man das eben bei beiden Funktionen macht, bekommt man zwei Flächeninhalte, also auch eine Zahl. Da der der oberen Funktion aber größer ist, kommt ein negativer Flächeninhalt heraus. Denn man subtrahiert. Oder verstehe ich deine Frage gerade einfach nur falsch?   ─   tannenbaum234 24.04.2022 um 21:56
Lass mal jede Rechnung beiseite und versuche das grafisch zu interpretieren 😅👍   ─   maqu 24.04.2022 um 22:22
@cauchy oh ok i See ... dann sry, ich lasse dich mal deinen Gedanken an den Frager zu Ende führen ohne weiter reinzugrätschen   ─   maqu 24.04.2022 um 23:09
Würde man dort zwei Funktionen einsetzten, kommt durch dass umkehren der Vorzeichen das gleiche Ergebnis herraus, wie auf der linken Seite.

Bsp: x-2-x^2+3=-(x-2)-(x^2+3)
x-2-x^2+3=x+2-x^2-3
Also das Integral ist das selbe, oder wenn man einsetzt erhält man das gleiche Ergebnis.

   ─   tannenbaum234 25.04.2022 um 16:54

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Cauchy wurde bereits informiert.
0
Du kannst auch den Betrag des Integrals nehmen. Somit wird das Ergebnis immer positiv auch wenn bei dem Integral etwas negatives herauskommt. Wichtig ist aber, das du zuerst die Schnittpunkte der Funktionen ermittelst und dein Integral aufteilst,sonst verrechnen sich die Flächen miteinander und dein Ergebnis wird falsch. Also angenommen du sollst berechnen:
\[\int_a^b f(x)-g(x) \text{d}x\]
aber zwischen $a$ und $b$ liegt noch ein Schnittpunkt bei $x_0$, dann kannst teilst du das Integral entsprechend auf in nimmst den Betrag von beiden Integralen, wenn du nicht weißt welche Funktion jeweils über der anderen liegt, also
\[\left|\int_a^{x_0} f(x)-g(x) \text{d}x\right|+\left|\int_{x_0}^b f(x)-g(x) \text{d}x \right|\]
Damit erhälst du immer auf einen positiven Flächeninhalt.
Diese Antwort melden
geantwortet

Punkte: 7.84K

 
Dankeschön:) Auch wenn die Frage zwar schon beantwortet wurde, hast du es sehr gut und ausführlich erklärt!   ─   tannenbaum234 24.04.2022 um 21:33

Kommentar schreiben

0
Ich mag diese Erklärungen "Betrag des Integrals..." und später steht dann, aber dies und das muss man noch vorher machen, nicht.
Die einfache Antwort ist: Der Flächeninhalt der zwischen den Funktionsgraphen über $[a,b]$ eingeschlossenen Fläche ist immer, ausnahmslos:
$$\int\limits_a^b |f(x)-g(x)|\, dx$$.
Zur Berechnung des Integrals muss man dann bei den Nullstellen von $f-g$ aufteilen, das merkt man dann ja, weil man den Betrag nicht direkt integrieren kann. Da man aber zu anderen Anlässen auch schonmal Beträge von irgendwas integrieren muss, sollte man das eh beherrschen.
Diese Antwort melden
geantwortet

Lehrer/Professor, Punkte: 32.91K

 
Ok, Danke für die Antwort. Im Prinzip kann ich doch zur Not die Flächen der Funktionen einzeln berechnen und dann das größere Minus das kleiner Ergebnis, oder?   ─   tannenbaum234 25.04.2022 um 17:30
Im meine, dass man zum Beispiel eine Parabel hat und eine lineare Funktion, die die Stnittpunkte 2 und 4 haben. Könnte ich dann zuerst das Integral von der Parabel in den Grenzen bestimmen und danach das der linearen Funktion in den gleichen Grenzen. Dann bekomme ich ja zwei Flächen. Und nun subtrahiere ich die größere Fläche mit der kleineren. Dann kommt ja die Differenz zwischen diesen herraus. Müsste das nicht dann dem Flächeninhalt zwischen beiden Graphen entsprechen.

Da wüsste ich dann welchen welche Funktion über der anderen leigt, nämlich die mit dem größeren Flächeninhalt.   ─   tannenbaum234 25.04.2022 um 18:09
@tannenbaum234, ja, die Integrale kannst du einzeln berechnen und dann geeignet zusammensetzen, du berechnest ja immer die Fläche von der Kurve bis zur x-Achse. Nur hast du dann keinen kompakten Ansatz und das ist "unschön"
Ich würde mir aber nicht zu viele Kunstgriffe überlegen, sondern üben, die obere Kurve zu erkennen (wenn die Grenzen/Schnittpunkte bekannt sind, geht das sogar mit einer einfachen Punktprobe) und im Notfall nachträglich Betragsstriche (von Anfang an) setzen - das ist pragmatisch.   ─   honda 25.04.2022 um 18:24
Danke für die Antwort! Uns wird immer nur eine Funktion gegeben, ohne Schniitpunkt. Und da wir wenig Zeit haben, wollte ich mal fargen ob es eine Alternative gibt, wenn ich mal nicht weiß wie eine Funktion aussieht.
   ─   tannenbaum234 25.04.2022 um 18:31
zu beachten ist dabei noch, dass sich durch die Differenzbildung in einigen Fällen die aufzuleitende Funktion enorm vereinfacht bzw. mit Schulwissen erst aufleitbar ist, wei der "ungünstige" Teil einfach wegfällt (vermutlich sind solche Aufgaben extra gestellt, um Wissen zu überprüfen)   ─   honda 26.04.2022 um 08:55

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Mikn wurde bereits informiert.