Fläche zwischen zwei Graphen berechnen

Aufrufe: 154     Aktiv: 26.04.2022 um 13:01

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Hi, 

die Fläche zwischen zwei Graphen berechnet man mit der Formel: Integral f(x)-g(x) dx.

Bisher hatten wir es so, dass man wissen muss welche Funktion „über“ der anderen Funktion ist. Sich die Funktionen sozusagen im Koordinatensystem vorstellen muss.

Existiert eine Möglichkeit das zu umgehen? Ich hätte in Richtung irgendwas mit Betrag gedacht.

VG

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Setz den Betrag um das gesamte Integral, dann ist es egal. Wenn man es "falschrum" macht, bekommt man nämlich lediglich ein falsches Vorzeichen. Wenn es mehrere Schnittpunkte gibt, musst du das Integral aber dennoch zerlegen.
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Danke für deine Antwort. Also wenn etwas negatives herauskommt, dann einfach Betrag?   ─   tannenbaum234 24.04.2022 um 21:24

So ist es. Du kannst dir ja mal mathematisch überlegen, warum das so ist.   ─   cauchy 24.04.2022 um 21:26

Oh sry ... durch das Formel eintippen habe ich länger gebraucht. Dann hat cauchy das schon kurz und schmerzlos zusammengefasst.^^   ─   maqu 24.04.2022 um 21:26

Ich denke der Grund ist: Wenn man theoretisch den Flächeninhalt zwischen der unteren Funktion und der x Achse berechnen würde ist der in einem festgelegten Intervall kleiner, als der zwischen der oberen und der x-Achse. Durch das subtrahieren würde eine negative Zahl herauskommen. Oder?   ─   tannenbaum234 24.04.2022 um 21:31

Ja, aber warum ist diese negative Zahl vom Betrag her genauso groß wie wenn man es richtigherum berechnet?   ─   cauchy 24.04.2022 um 21:32

Zum Beispiel bei 3-2=-1. Das Ergebnis ist -1 unser Betrag davon wäre 1. Da der Abstand der gleiche ist, also der Betrag.

Oder 3-8=-5. Betrag ist 5 da gleicher Abstand vom Nullpunkt.

So hatte ich es verstanden
  ─   tannenbaum234 24.04.2022 um 21:43

Ja, das ist schon richtig. Die Frage war aber, warum genau der Gleiche Betrag herauskommt, wenn man $g(x)-f(x)$ anstelle von $f(x)-g(x)$ rechnet und man daher für das Integral einfach nur den Betrag davor schreiben muss.   ─   cauchy 24.04.2022 um 21:51

@tannenbaum234 als Tipp stelle dir beide Differenzfunktionen grafisch vor und deren dazugehöriger eingeschlossener Flächeninhalt … dann solltest du erkennen was cauchy meint   ─   maqu 24.04.2022 um 21:55

Das wollte ich eigentlich mit der simplen Rechnung verdeutlichen. Weil, wenn man das Integral bildet, bekommt man am Ende eine Zahl raus. Wenn man das eben bei beiden Funktionen macht, bekommt man zwei Flächeninhalte, also auch eine Zahl. Da der der oberen Funktion aber größer ist, kommt ein negativer Flächeninhalt heraus. Denn man subtrahiert. Oder verstehe ich deine Frage gerade einfach nur falsch?   ─   tannenbaum234 24.04.2022 um 21:56

Lass mal jede Rechnung beiseite und versuche das grafisch zu interpretieren 😅👍   ─   maqu 24.04.2022 um 22:22

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Ich meinte gar keine grafische Interpretation, sondern eher einen rechnerischen Beweis: $f(x)-g(x)=-(g(x)-f(x))$. Was folgt daraus für das Integral?   ─   cauchy 24.04.2022 um 22:28

@cauchy oh ok i See ... dann sry, ich lasse dich mal deinen Gedanken an den Frager zu Ende führen ohne weiter reinzugrätschen   ─   maqu 24.04.2022 um 23:09

Würde man dort zwei Funktionen einsetzten, kommt durch dass umkehren der Vorzeichen das gleiche Ergebnis herraus, wie auf der linken Seite.

Bsp: x-2-x^2+3=-(x-2)-(x^2+3)
x-2-x^2+3=x+2-x^2-3
Also das Integral ist das selbe, oder wenn man einsetzt erhält man das gleiche Ergebnis.

  ─   tannenbaum234 25.04.2022 um 16:54

Das, was bei dir steht, ist aber offensichtlich falsch, denn die Gleichung gilt ja nicht. Du hast die äußere Klammer vergessen. Und dass diese Gleichung gilt, habe ich ja auch schon geschrieben. Beim Integral kommt gerade nicht das gleiche raus, sondern der Betrag mit anderem Vorzeichen.   ─   cauchy 25.04.2022 um 18:37

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Du kannst auch den Betrag des Integrals nehmen. Somit wird das Ergebnis immer positiv auch wenn bei dem Integral etwas negatives herauskommt. Wichtig ist aber, das du zuerst die Schnittpunkte der Funktionen ermittelst und dein Integral aufteilst,sonst verrechnen sich die Flächen miteinander und dein Ergebnis wird falsch. Also angenommen du sollst berechnen:
\[\int_a^b f(x)-g(x) \text{d}x\]
aber zwischen $a$ und $b$ liegt noch ein Schnittpunkt bei $x_0$, dann kannst teilst du das Integral entsprechend auf in nimmst den Betrag von beiden Integralen, wenn du nicht weißt welche Funktion jeweils über der anderen liegt, also
\[\left|\int_a^{x_0} f(x)-g(x) \text{d}x\right|+\left|\int_{x_0}^b f(x)-g(x) \text{d}x \right|\]
Damit erhälst du immer auf einen positiven Flächeninhalt.
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Dankeschön:) Auch wenn die Frage zwar schon beantwortet wurde, hast du es sehr gut und ausführlich erklärt!   ─   tannenbaum234 24.04.2022 um 21:33

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Übrigens: Zur Markierung einer Frage als "beantwortet" dient der grüne "beantwortet"-Haken (nicht zu verwechseln mit einem upvote). Diese Frage ist daher weiter unbeantwortet (Du entscheidest).   ─   mikn 25.04.2022 um 17:07

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Ich mag diese Erklärungen "Betrag des Integrals..." und später steht dann, aber dies und das muss man noch vorher machen, nicht.
Die einfache Antwort ist: Der Flächeninhalt der zwischen den Funktionsgraphen über $[a,b]$ eingeschlossenen Fläche ist immer, ausnahmslos:
$$\int\limits_a^b |f(x)-g(x)|\, dx$$.
Zur Berechnung des Integrals muss man dann bei den Nullstellen von $f-g$ aufteilen, das merkt man dann ja, weil man den Betrag nicht direkt integrieren kann. Da man aber zu anderen Anlässen auch schonmal Beträge von irgendwas integrieren muss, sollte man das eh beherrschen.
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Ok, Danke für die Antwort. Im Prinzip kann ich doch zur Not die Flächen der Funktionen einzeln berechnen und dann das größere Minus das kleiner Ergebnis, oder?   ─   tannenbaum234 25.04.2022 um 17:30

Ich bin nicht ganz sicher, was Du meinst, aber vermutlich ist die Antwort nein. Du musst genau dieses Integral ausrechnen. $\int\limits_a^bf(x)\, dx$ alleine (und genauso mit $g$ hilft da nicht). Es gibt hier keine Abkürzungen.   ─   mikn 25.04.2022 um 17:38

Im meine, dass man zum Beispiel eine Parabel hat und eine lineare Funktion, die die Stnittpunkte 2 und 4 haben. Könnte ich dann zuerst das Integral von der Parabel in den Grenzen bestimmen und danach das der linearen Funktion in den gleichen Grenzen. Dann bekomme ich ja zwei Flächen. Und nun subtrahiere ich die größere Fläche mit der kleineren. Dann kommt ja die Differenz zwischen diesen herraus. Müsste das nicht dann dem Flächeninhalt zwischen beiden Graphen entsprechen.

Da wüsste ich dann welchen welche Funktion über der anderen leigt, nämlich die mit dem größeren Flächeninhalt.
  ─   tannenbaum234 25.04.2022 um 18:09

@tannenbaum234, ja, die Integrale kannst du einzeln berechnen und dann geeignet zusammensetzen, du berechnest ja immer die Fläche von der Kurve bis zur x-Achse. Nur hast du dann keinen kompakten Ansatz und das ist "unschön"
Ich würde mir aber nicht zu viele Kunstgriffe überlegen, sondern üben, die obere Kurve zu erkennen (wenn die Grenzen/Schnittpunkte bekannt sind, geht das sogar mit einer einfachen Punktprobe) und im Notfall nachträglich Betragsstriche (von Anfang an) setzen - das ist pragmatisch.
  ─   honda 25.04.2022 um 18:24

Danke für die Antwort! Uns wird immer nur eine Funktion gegeben, ohne Schniitpunkt. Und da wir wenig Zeit haben, wollte ich mal fargen ob es eine Alternative gibt, wenn ich mal nicht weiß wie eine Funktion aussieht.
  ─   tannenbaum234 25.04.2022 um 18:31

Wie gesagt, es gibt keine Abkürzung. Man muss schauen, ob es Schnittpunkte gibt. Nein, Du kannst nicht generell erst die eine, dann die andere Fläche berechnen. Das hängt von den Intervallen und Vorzeichen der Differenz ab.   ─   mikn 25.04.2022 um 20:14

@mikn: Dieser Ansatz wird in der Schule eher nicht besprochen, höchstens wenn es darum geht, die Fläche direkt mit dem GTR/CAS zu berechnen. Aber auch das wird nur in den seltensten Fällen von den Lehrern vermittelt (es steht aber zumindest in dem ein oder anderen Schulbuch explizit drin). Es mag richtig sein, dass dieser Ansatz ausnahmslos immer gilt, aber hilfreich ist er nicht, da es dann zu dem Problem führt, eben den Betrag zu integrieren, was übrigens NICHT Bestandteil der Schulmathematik ist, weshalb die anderen Anlässe hier ebenfalls nicht relevant sind. Soll heißen, dass man das für das Abitur nicht beherrschen muss (wie so viele andere Dinge, die man nicht mehr können muss).

Und die Möglichkeit, die der Fragesteller hier beschreibt, funktioniert sehr wohl, denn das folgt ja sofort aus der Linearität des Integrals. Etwas präziser wäre an dieser Stelle wohl "Integral berechnen" anstelle von "Fläche berechnen".

@tannenbaum234: Die Möglichkeit besteht, ist aber eben keine Abkürzung. Ganz im Gegenteil. Du musst ja zwei Integrale berechnen, zwei Stammfunktionen bilden, etc. Der einfachste Weg ist es, einfach die Differenzfunktion $d(x)=f(x)-g(x)$ zu berechnen und dann die Fläche zu berechnen, die der Graph von $d$ mit der $x$-Achse einschließt. Das führt zum gewünschten Ergebnis und erfordert nur eine einzige Stammfunktion. Man beachte hier, dass die Nullstellen von $d$ dann die Schnittpunkte der Graphen von $f$ und $g$ sind.
  ─   cauchy 26.04.2022 um 01:47

zu beachten ist dabei noch, dass sich durch die Differenzbildung in einigen Fällen die aufzuleitende Funktion enorm vereinfacht bzw. mit Schulwissen erst aufleitbar ist, wei der "ungünstige" Teil einfach wegfällt (vermutlich sind solche Aufgaben extra gestellt, um Wissen zu überprüfen)   ─   honda 26.04.2022 um 08:55

Wenn Du sicher weißt, dass die beiden Graphen keine Schnittpunkte haben, kannst Du so vorgehen (beide Integrale getrennt berechnen, Differenz bilden, Betrag nehmen). Aber nur dann.   ─   mikn 26.04.2022 um 12:09

@mikn: ja, meine ich natürlich. Habs angepasst.   ─   cauchy 26.04.2022 um 13:01

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