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Der Beweis ist nicht richtig. Natürlich nicht (weil, wenn es so einfach wäre, warum machen es dann alle anderen so kompliziert?).
Gezeigt wurde: $H_n:=\sum\limits_{i=1}^n \frac1i =\sum\limits_{i=1}^n \frac1{2i} +\sum\limits_{i=1}^n \frac1{2i} < \sum\limits_{i=1}^n \frac1{2i-1} +\sum\limits_{i=1}^n \frac1{2i} = \sum\limits_{i=1}^{\bf 2n} \frac1i = H_{2n}$.
Die Folge steigt also bei Verdopplung von $n$. Dass die Folge streng monoton steigend ist, ist aber ohnehin klar.
Wenn das jetzt nicht mit Konvergenz vereinbar wäre ("endliches $H_\infty$"), dann müsste ja jede streng monoton steigende Folge divergent sein, weil ja "$a_n<a_{n+1}$ nicht mit endlichem Grenzwert vereinbar wäre".
Gezeigt wurde: $H_n:=\sum\limits_{i=1}^n \frac1i =\sum\limits_{i=1}^n \frac1{2i} +\sum\limits_{i=1}^n \frac1{2i} < \sum\limits_{i=1}^n \frac1{2i-1} +\sum\limits_{i=1}^n \frac1{2i} = \sum\limits_{i=1}^{\bf 2n} \frac1i = H_{2n}$.
Die Folge steigt also bei Verdopplung von $n$. Dass die Folge streng monoton steigend ist, ist aber ohnehin klar.
Wenn das jetzt nicht mit Konvergenz vereinbar wäre ("endliches $H_\infty$"), dann müsste ja jede streng monoton steigende Folge divergent sein, weil ja "$a_n<a_{n+1}$ nicht mit endlichem Grenzwert vereinbar wäre".
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mikn
Lehrer/Professor, Punkte: 39.83K
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Die Begründung in Klammern ist math. Erfahrung, kein Beweis. Natürlich gibt es Gegenbeispiele (üblicherweise sehr lange zurückliegend), aber wenn jetzt z.B. jemand einen elementaren Beweis für den großen Satz von Fermat findet, der viel kürzer ist als der von Andrew Wiles, dann würde ich jede Wette halten, dass dieser Beweis falsch ist.
Die Frage ist hier also nicht, ob der Beweis des Schülers falsch ist, sondern warum. ─ mikn 02.10.2023 um 10:41
Die Frage ist hier also nicht, ob der Beweis des Schülers falsch ist, sondern warum. ─ mikn 02.10.2023 um 10:41
"Die Begründung in Klammern ist math. Erfahrung, kein Beweis." Ja, natürlich. Wer will das bestreiten?
Worauf sich der letzte Satz "Die Frage ist hier also nicht, ob der Beweis des Schülers falsch ist, sondern warum" bezieht, verstehe ich auch nicht.
Immerhin ist die Gleichungs-/Ungleichungskette jetzt fehlerfrei. ─ user77e28f 02.10.2023 um 12:11
Worauf sich der letzte Satz "Die Frage ist hier also nicht, ob der Beweis des Schülers falsch ist, sondern warum" bezieht, verstehe ich auch nicht.
Immerhin ist die Gleichungs-/Ungleichungskette jetzt fehlerfrei. ─ user77e28f 02.10.2023 um 12:11
Ich denke doch das der Beweis stimmt. Es gibt tatsächlich mehrere noch kürzere Beweise für die Divergenz der harmonischen Reihe. Mikn spricht hier von der partiellen Summe, der Schüler aber von der gesamten, unendlichen Reihe. Tatsächlich ist jeder Schritt im Beweis so korrekt - auch wenn man die Ungleichung (wie in meiner Antwort beschrieben) begründen muss.
─
fix
02.10.2023 um 22:24
Vielleicht kann Professor @mikn noch seinen Schreibfehler nach dem ersten Gleichheitszeichen korrigieren, dann bin ich restlos zufrieden. ─ user77e28f 02.10.2023 um 10:28