Harmonische Reihe

Aufrufe: 632     Aktiv: 05.10.2023 um 01:06

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Was sagt man als Lehrer zu der Schülerfrage: Kann man die Divergenz der harmonischen Reihe nicht einfach dadurch beweisen, dass
$H_\infty = 1+\frac12 + \frac13 + \frac14 + \dots$
$= (\frac12+\frac12)+(\frac14+\frac14)+(\frac16+\frac16)+(\frac18+\frac18) + \dots$
$<(1+\frac12)+(\frac13+\frac14)+(\frac15+\frac16)+(\frac17+\frac18) + \dots$
$= H_\infty$
für endliches $H_\infty$ einen Widerspruch darstellt?
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Der Beweis ist nicht richtig. Natürlich nicht (weil, wenn es so einfach wäre, warum machen es dann alle anderen so kompliziert?).
Gezeigt wurde: $H_n:=\sum\limits_{i=1}^n \frac1i  =\sum\limits_{i=1}^n \frac1{2i} +\sum\limits_{i=1}^n \frac1{2i} < \sum\limits_{i=1}^n \frac1{2i-1} +\sum\limits_{i=1}^n \frac1{2i} = \sum\limits_{i=1}^{\bf 2n} \frac1i = H_{2n}$.
Die Folge steigt also bei Verdopplung von $n$. Dass die Folge streng monoton steigend ist, ist aber ohnehin klar.
Wenn das jetzt nicht mit Konvergenz vereinbar wäre ("endliches $H_\infty$"), dann müsste ja jede streng monoton steigende Folge divergent sein, weil ja "$a_n<a_{n+1}$ nicht mit endlichem Grenzwert vereinbar wäre".
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Ja, danke. Die Begründung für "Natürlich nicht" in Klammern finde ich etwas problematisch. Da finden sich bestimmt Gegenbeispiele in der Geschichte der Mathematik.
Vielleicht kann Professor @mikn noch seinen Schreibfehler nach dem ersten Gleichheitszeichen korrigieren, dann bin ich restlos zufrieden.
  ─   user77e28f 02.10.2023 um 10:28

Die Begründung in Klammern ist math. Erfahrung, kein Beweis. Natürlich gibt es Gegenbeispiele (üblicherweise sehr lange zurückliegend), aber wenn jetzt z.B. jemand einen elementaren Beweis für den großen Satz von Fermat findet, der viel kürzer ist als der von Andrew Wiles, dann würde ich jede Wette halten, dass dieser Beweis falsch ist.
Die Frage ist hier also nicht, ob der Beweis des Schülers falsch ist, sondern warum.
  ─   mikn 02.10.2023 um 10:41

"Die Begründung in Klammern ist math. Erfahrung, kein Beweis." Ja, natürlich. Wer will das bestreiten?
Worauf sich der letzte Satz "Die Frage ist hier also nicht, ob der Beweis des Schülers falsch ist, sondern warum" bezieht, verstehe ich auch nicht.
Immerhin ist die Gleichungs-/Ungleichungskette jetzt fehlerfrei.
  ─   user77e28f 02.10.2023 um 12:11

Ich denke doch das der Beweis stimmt. Es gibt tatsächlich mehrere noch kürzere Beweise für die Divergenz der harmonischen Reihe. Mikn spricht hier von der partiellen Summe, der Schüler aber von der gesamten, unendlichen Reihe. Tatsächlich ist jeder Schritt im Beweis so korrekt - auch wenn man die Ungleichung (wie in meiner Antwort beschrieben) begründen muss.   ─   fix 02.10.2023 um 22:24

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Moin,

Wie wärs mit "Ja"?
Der einzige Punkt, der vielleicht ein wenig problematisch ist, ist die Ungleichung. Allerdings gilt, dass falls $a_n\ge b_n \forall n\in\mathbb{N}$ gilt, dass $\sum\limits_{n\in\mathbb{N}}b_n\le\sum\limits_{n\in\mathbb{N}}a_n$ und da wir sogar an manchen Stellen eine strikte Ungleichung haben gilt auch $\sum\limits_{n\in\mathbb{N}}b_n<\sum\limits_{n\in\mathbb{N}}a_n$. Allerdings muss man bei Ungleichungen in Reihen immer ein wenig aufpassen.

LG
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Student, Punkte: 3.85K

 

Hhm, ein bisschen richtig - oder ein bisschen falsch? Oder beides?   ─   user77e28f 01.10.2023 um 23:44

Der Beweis ist auf jeden Fall korrekt. Man muss nur den von mir genannten Fakt kennen, damit er funktioniert.   ─   fix 02.10.2023 um 08:13

Ist mit "Man muss nur den von mir genannten Fakt kennen, damit er funktioniert" die Formulierung "Allerdings muss man bei Ungleichungen in Reihen immer ein wenig aufpassen" in deiner Antwort gemeint?   ─   user77e28f 02.10.2023 um 09:39

Ja genau. Der letzte Satz war mehr so generell gemeint.   ─   fix 02.10.2023 um 22:24

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Der Beweis ist im Prinzip korrekt, nur ein bisschen unsauber aufgeschrieben.
Aus der Ungleichung in der Frage kann man ja ablesen, dass:
\(H_{2n}-H_n >  \frac{1}{2}  \)                              (1)
für n>0. Wenn nun \(H_{\infty}\) existierte, so wäre die Folge der \(H_n\) konvergent.
Die Folge der \(H_{2n}\) ist eine Teilfolge davon, wäre also konvergent, und würde gegen den gleichen Grenzwert konvergieren.
Dann würde die Folge der \(H_{2n}-H_n\) wäre dann ebenfalls konvergent, mit Grenzwert 0.
Das steht im Widerspruch zu (1).
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Das ist mit "wohlwollend" schon nicht mehr zu beschreiben: Die linke Seite der Abschätzung muss anders aussehen, die Abschätzung selbst auch, damit auch die rechte Seite, und vor allem die Argumentation am Ende ist eine ganz andere.
Unter "im Prinzip korrekt" verstehe ich was anderes.
  ─   mikn 03.10.2023 um 20:17

Ich muss mikn Recht geben, dass diese Lösung nicht das war, was der Schüler im Sinn hatte. Dennoch war sein Beweis korrekt (siehe meine Antwort). Hier irren sich der Lehrer und mikn also.   ─   fix 03.10.2023 um 22:29

Wieso irrt sich der Lehrer???   ─   user77e28f 03.10.2023 um 22:43

Weil die Antwort akzeptiert wurde, die den Beweis als falsch wertet. Da bin ich davon ausgegangen dass der Fragi (also der Lehrer) diese Meinung teilt und sich daher irrt.   ─   fix 03.10.2023 um 22:51

Bisher hast du, fix, noch nicht gesagt, warum der Beweis korrekt ist. Du hast nur mehrfach gesagt, er ist korrekt und dass man auf irgendeine nicht näher erklärte Weise aufpassen muss. Kommt denn da nochmal was konkretes?   ─   mikn 03.10.2023 um 23:25

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Also nun mal Butter bei die Fische:
Die logische Struktur der Schülerfrage ist:
Wenn $H_\infty$ endlich ist, dann liefert die Umformung einen Widerspruch.
Folgen wir also seiner Argumentation:
Angenommen, $H_\infty =a \in R. $
Dann steht da eine Reihe, die - wenn es um ihren (endlichen oder unendlichen) Wert geht - korrekterweise als Grenzwert der Partialsummen zu verstehen ist:
$H_\infty = \lim\limits_{n \to \infty}H_n = a$.
Die zweite und dritte Zeile ist - korrekt notiert - nichts anderes als die Behauptung, dass aus $H_n < H_{2n}$ (für alle $n\in N$)
$\lim\limits_{n \to \infty}H_n < \lim\limits_{n \to \infty}H_{2n}$
folgt. Dies ist aber nach Grenzwertsätzen falsch. Es folgt lediglich
$\lim\limits_{n \to \infty}H_n \leq \lim\limits_{n \to \infty}H_{2n}$.
Damit entsteht eben nur $a\leq a$ und nicht der behauptete Widerspruch $a < a$.
Also ist die Argumentation kein Beweis.
  ─   user77e28f 03.10.2023 um 23:28

Der Anfang sieht gut aus. Es wird angenommen, dass die harmonische Reihe konvergiert. Dann gilt die Ungleichung, weil $$H_{\infty}=\sum\limits_{n\in\mathbb{N}}(\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n})<\sum\limits_{n\in\mathbb{N}}\frac{1}{n} = H_{\infty}\\\iff\\\sum\limits_{n\in\mathbb{N}}(\frac{1}{2n})<\sum\limits_{\text{n ungerade}}\frac{1}{n}\\ \iff \\\sum\limits_{n\in\mathbb{N}}\frac{1}{2n}<\sum\limits_{n\in\mathbb{N}}\frac{1}{2n-1}\\\iff\\\sum\limits_{n\in\mathbb{N}}(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n})>0\\\iff\\\sum\limits_{n\in\mathbb{N}}\frac{1}{(2n)(2n-1)}>0$$ Und diese letzte Aussage ist offensichtlich wahr. Alle Umformungen funktionieren, weil wir angenommen hatten, dass die harmonische Reihe konvergiert. Auch die Reihen mit $\frac{1}{2n}$ und $\frac{1}{2n-1}$ sind damit konvergent. Also existieren die Grenzwerte und wir können wie gewohnt rechnen. Das war es, was ich in meiner Antwort gemeint hatte.

Der Beweis ist also sehr wohl korrekt, auch wenn man diese Zwischenschritte zumindest erwähnen könnte.
  ─   fix 04.10.2023 um 00:29

Auch wenn es langsam langweilig wird: Noch ein Versuch, das Problem zu klären.
Angenommen $ \sum\limits_{n=1}^\infty\frac1n := \lim\limits_{n \to \infty}\sum\limits_{n=1}^n\frac1n = a \in R.$
Dann folgt mit
$a = \sum\limits_{n=1}^\infty\frac1n = \sum\limits_{n=1}^\infty(\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n}) \\
= \frac12+\frac12 + \sum\limits_{n=2}^\infty(\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n}) \leq \frac12+\frac12 + \sum\limits_{n=2}^\infty(\frac{1}{2n-1}+\frac{1}{2n}) \\
= 1 + \frac12 + \sum\limits_{n=2}^\infty(\frac{1}{2n-1}+\frac{1}{2n}) - \frac12 \\
= \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n} - \frac12 \\
= a - \frac12 $ ein Widerspruch. Also ist die Annahme falsch usw.
(War das vielleicht die Intention von @m.simon.539?)
Die Schlussfolgerungen bez. der "mangelhaften Schülerargumentation" und den oben angeführten Versuchen, aufgrund dieser "Mängeln" die Schülerfrage mit "NEIN" zu beantworten (@mikn, ich) bzw. die Schülerargumentation zu "fixen" (@m.simon.539, @fix, ich jetzt) können wir alle selber ziehen.

Vielen Dank in alle Richtungen für die interessante "Debatte".
  ─   user77e28f 04.10.2023 um 22:39

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Abgesehen davon, dass von den ganzen Summen nur eine einzige korrekt notiert ist...   ─   cauchy 04.10.2023 um 23:09

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