Differentialgleichung und logistisches Wachstum

Aufrufe: 73     Aktiv: 29.05.2021 um 15:18

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Hi, gegeben ist g(x)= 30/(1+29e^(-0,1758x)

Ich soll jetzt nachweisen, dass das wachstum und die Höhe durch folgende Gleichung verbunden ist:

g'(x)= 0,00586*g(x)*(30-g(x))

Ich weiß das beim logistischen Wachstum die Wachstumsgedchwindigkeit proportional zum Bestand und Sättigungsmanko ist, allerdings weiß ich jetzt nicht so recht wie ich vorgehen soll..

Vielen Dank schonmal
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Schüler, Punkte: 69

 

Hinten muß doch g(x) stehen! Leite doch das g(x) ab und prüfe, ob die logistische Gleichung erfüllt wird.   ─   professorrs 28.05.2021 um 19:53

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1 Antwort
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g(x) ist angegeben, man braucht nur g'(x) ausrechnen und g'(x) und g(x) in die Gleichung einzusetzen. Und dann prüfen, ob die Gleichung erfüllt ist.
Das ist eine Gleichung, deren Lösung angegeben ist - Nachweis durch Probe.
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Lehrer/Professor, Punkte: 14.12K
 

Ich habe das Ganze jetzt ausgerechnet und das raus:

(152,94e^(-0.1758x))/(1+29e^-0,1758x)^2=0,00586*(30/1+29e^(0,1758x)*(30-(30/1+29e^(0,1758x)) raus, ich würde ja ein Bild anfügen, allerdings weiß nicht wie dies funktioniert.
  ─   anonym 28.05.2021 um 21:37

Oben bei der Aufgabenstellung "bearbeiten" sollte man ein Bild hochladen können.   ─   mikn 28.05.2021 um 21:50

Die Option habe ich leider nicht da stehen   ─   anonym 28.05.2021 um 22:04

Kein "Bearbeiten"? Im Bearbeitungsfenster sind icons, das links ist für Bilder.
  ─   mikn 28.05.2021 um 22:07

Nein, komischer Weise gibt es die Funktion nicht, also ich komme nichtmal in bearbeiten rein   ─   anonym 28.05.2021 um 22:09

Meinst Du das so?
\(\frac{152,94e^{-0.1758x}}{(1+29e^{-0,1758x})^2}=0,00586*\frac{30}{1+29e^{-0,1758x}}*(30-\frac{30}{1+29e^{-0,1758x}})\)
Das stimmt dann so. Jetzt musst Du natürlich alles vereinfachen, so lange bis - hoffentlich - 0=0 da steht.
  ─   mikn 28.05.2021 um 22:15

Ja, die meine ich. Aber habe ich damit dann bewiesen, dass das Wachstum g‘(x) und die Höhe g(x)mit der Gleichung g'(x)= 0,00586*g(x)*(30-g(x)) verbunden sind.   ─   anonym 28.05.2021 um 22:24

Das heißt doch auf deutsch nur, dass die Gleichung erfüllt ist. Wie z.B. "weise nach, dass x^2 und x durch die folgende Gleichung verbunden sind: (x+1)^2=x^2+2x+1".   ─   mikn 28.05.2021 um 22:27

Ok vielen Dank, noch eine andere Frage, hätte man aus g'(x)= 0,00586*g(x)*(30-g(x)) auch die Stammfunktion bilden können? Wenn dann g(x) rauskommt, dann hätte man dies doch auch bewiesen oder?   ─   anonym 28.05.2021 um 22:30

Diese Gleichung ist eine Differentialgleichung. Wenn man integriert, steht links zwar g(x) (plus Konstante), aber rechts u.a. das Integral von g. Das bringt daher nichts. Für Differentialgleichungen gibt es spezielle Lösungsmethoden, die Du noch kennenlernen wirst.
Hier aber ist g(x) gegeben, und dass g(x) Lösung ist, weist man durch Einsetzen nach.
  ─   mikn 28.05.2021 um 22:36

Alles klar, vielen Dank!   ─   anonym 28.05.2021 um 22:40

Kann ich auch einfach in beiden Funktionen einen Wert einfügen für x und damit beweisen, dass beiden Funktionen der gleiche Wert rauskommt?   ─   anonym 29.05.2021 um 10:26

Dann gilt die Gleichheit ja nur für diesen einen Wert. Gezeigt werden soll es ja für alle x, deshalb muss man allgemein rechnen. Aber die Aufgabenstellung ist nicht optimal formuliert.   ─   mikn 29.05.2021 um 12:06

Das stimmt leider, die Aufgabe haben wir auch so bekommen, wie rechne ich das ganze im allgemeinen?   ─   anonym 29.05.2021 um 13:39

Ich dachte, das ist lange geklärt? Hatte ich auch oben schon gesagt, steht in dem Kommentar in dem ich die Gleichung nochmal aufgeschrieben habe.   ─   mikn 29.05.2021 um 13:54

Mein Fehler sorry..   ─   anonym 29.05.2021 um 15:18

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