Die wird halt einfach eingefügt damit du quasi Zähler und Nenner kürzen kannst, ich weiss nicht genau was du nach dem ersten Gleichheitszeichen gemachst hast, aber eigentlich ist es nur:

\( \frac{1-4x}{1+2x} = \frac{(3-2)-4x}{1+2x} = \frac{-2-4x+3}{1+2x} = \frac{-2-4x}{1+2x} + \frac{-3}{1+2x} = -2 +  \frac{-3}{1+2x} \)

Man will im Zähler was mit -2-4x haben, damit man den Bruch auseinanderziehen kann. Wenn Du vergleichst:

\(\frac{1-4x}{1+2x} = \frac{-2-4x+?}{1+2x}\)

dann muss ?=3 sein, sonst stimmt's ja nicht (weil die Zähler unterschiedlich sind).