Taylorreihe, Reihenentwicklung arctan-Funktion

Aufrufe: 113     Aktiv: 19.04.2022 um 22:03

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Hallo,
ich habe eine Frage zu folgender Aufgabe:

Ich weiß, dass ich diese Aufgabe mithilfe der Taylorreihe lösen kann. Außerdem habe ich überlegt, ob ich das "l" aus der gegebenen Gleichung unter der Aufgabenstellung herausstreichen kann, da l<<1 ist und die neue Gleichung dann ableiten und so mithilfe der Taylorreihe entwickeln kann.
Ich wäre sehr dankbar, wenn mir irgendwer helfen könnte, und mir sagen könnte, ob mein Ansatz richtig oder komplett falsch ist.
Bei der Aufgabe soll diese Ergebnis herauskommen:

Da bei der Lösung ein "l" enthalten ist, ist mein Ansatz mit dem "l" herausstreichen sehr wahrscheinlich falsch...
Schonmal vielen Dank im Vorraus!

EDIT vom 18.04.2022 um 17:13:

Das ist der erste Teil meines Lösungsansatzes, ich würde mich freuen, wenn ich einen Hinweis auf einen Fehler erhalten würde.

EDIT vom 18.04.2022 um 20:52:

Das ist mein überarbeiteter Lösungsansatz:
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Punkte: 12

 

Es gilt ja auch nicht $l\ll 1$, sondern $\frac{h}{l}\ll 1$!   ─   cauchy 17.04.2022 um 21:30
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Du versuchst, wie viele hier, den Ansatz so hinzubasteln, dass die Lösung rauskommt. Das ist keine vernünftige Methode. Die Lösung dient zum Vergleich mit dem von Dir selbst erzielten Ergebnis. Nachdem Du eine eigene Lösung gefunden hast.
Nimm also die Formel aus dem Hinweis, setze die TR für $\arctan \frac{h}l$ ein (die ersten 3 Summanden reichen) multipliziere aus und streiche dann (gemäß Aufgabenstellung) alle Potenzen $(\frac{h}l)^i$ mit $i\ge 3$ raus. Fertig.
Die Aufgabenstellung ist etwas missverständlich, weil man die höheren Potenzen erst am Ende in der Entwicklung von $s$ streichen soll und nicht schon vorher beim Einsetzen der TR.
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Vielen Dank für die schnelle Antwort! Muss ich nun also arctan h/l zweimal ableiten, mithilfe der Ableitungen dann die Taylorreihe entwickeln und diese dann in die Formel aus dem Hinweis einsetzen? Ich habe das probiert, allerdings bekomme ich ein anderes Ergebnis heraus.   ─   user2251c4 18.04.2022 um 16:59

Ich habe den ersten Teil meiner Lösung ergänzt!   ─   user2251c4 18.04.2022 um 17:13

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Warum so kompliziert? Berechne die TR von arctan, (um x=0) setze (wenn Du es einfach magst), DANACH h/i ein. So wird es komplizierter und damit rechenfehleranfälliger.Probier nochmal. Gerne schaue ich mir dann ein scharfes Handyfoto der neuen Rechnung an.   ─   mikn 18.04.2022 um 19:49

Danke für den Tipp, ich habe meine Lösung jetzt nochmal überarbeitet. Ich hoffe die Qualität des Fotos ist diesmal besser!   ─   user2251c4 18.04.2022 um 20:50

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Du könntest ja die Qualität des Fotos auch selbst prüfen.
Vom Prinzip her nun richtig. Aber nur vom Prinzip.
Schreibe nicht $=$, wo nur $\approx$ gilt - wir suchen ja eine Näherungsformel.
Und dann wiederhole Bruch- und Potenzrechnung, was ist $(\frac{a}b)^n$?. Dann kommt es auch am Ende richtig raus.
  ─   mikn 18.04.2022 um 21:52

Ich hätte mich mit dem Foto vlt besser ausdrücken sollen, natürlich habe ich die Qualität vorher kontrolliert, auf meinem Gerät war das Foto scharf, falls es trotzdem nicht so gut lesbar war, tut es mir leid.
Aber vielen Dank für das Nachsehen und Tipps geben, das hat mir sehr weitergeholfen, ich habe nun das richtige Ergebnis herausbekommen!
  ─   user2251c4 19.04.2022 um 21:41

Ich konnte es lesen, aber es ist eben anstrengend mit unscharfen Linien. In Deinem Interesse solltest Du es den Helfern so bequem wie möglich machen. Unscharfe Bilder, hingeschmierte Lösungen (nicht bei Dir) liest keiner gerne.
Wie auch immer, gut, dass Du es nun hast.
  ─   mikn 19.04.2022 um 22:03

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