Zum Beispiel die Additivität der Summe: Wir wollen zeigen, dass die Summe zweier linearer Abbildungen wieder linear ist, also dass \((L_1+L_2)(x_1+x_2)=(L_1+L_2)(x_1)+(L_1+L_2)(x_2)\). Fangen wir auf der linken Seite der Rechnung an. Das einzige, was man hier machen kann, ist die Definition der Summe von zwei Funktionen zu verwenden. Die ist punktweise definiert, also gilt \((L_1+L_2)(x_1+x_2)=L_1(x_1+x_2)+L_2(x_1+x_2).\) Jetzt kann man die Linearität von \(L_1\) und \(L_2\) verwenden, und erhält \(L_1(x_1)+L_1(x_2)+L_2(x_1)+L_2(x_2)\). Als nächstes wird umsortiert zu \(L_1(x_1)+L_2(x_1)+L_1(x_2)+L_2(x_2)\). Das kann man machen, da die Addition in einem Vektorraum kommutativ ist. Als letztes verwenden wir wieder die Definition der Summe von zwei Funktionen, um auf \((L_1+L_2)(x_1)+(L_1+L_2)(x_2)\).

Alle anderen Rechnungen gehen analog: Verwende zuerst die Definition von Summe/Skalarprodukt von Funktionen, dann die Linearität, Sortiere um, und dann wieder zurück. Versuch nochmal, die anderen nachzuvollziehen.