Lineare Abbildungen Beweis

Erste Frage Aufrufe: 38     Aktiv: 13.05.2021 um 20:56

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Hallo zusammen!

Ich tue mich unendlich schwer mit Beweisen... Habe das Gefühl, je länger ich mir das alles ansehe, desto weniger kapier ich.

Könnte mir jemand Schritt-für-Schritt, für doofe erklären, was bei der Lösung der folgenden Aufgabe passiert?

Sei \(   L_{v,w}\) die Menge aller linearen Abbildungen von V nach W.
Zeigen Sie: Diese Menge bildet einen Vektorraum bezüglich der für Funktionen üblichen Addition und Skalarmultiplikation. Hinweis: Sie dürfen dabei voraussetzen, dass die Menge aller Abbildungen von V nach W einen Vektorraum bilden. Es bleibt also zu zeigen, dass \(   L_{v,w}\) ein Untervektorraum ist.

Die Lösung:




Vor allem bereiten mir die Umformungen kopfzerbrechen. Warum, wieso und weshalb wird da was wie umgeformt?

Würde mich freuen, wenn mir jemand helfen könnte!
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Zum Beispiel die Additivität der Summe: Wir wollen zeigen, dass die Summe zweier linearer Abbildungen wieder linear ist, also dass \((L_1+L_2)(x_1+x_2)=(L_1+L_2)(x_1)+(L_1+L_2)(x_2)\). Fangen wir auf der linken Seite der Rechnung an. Das einzige, was man hier machen kann, ist die Definition der Summe von zwei Funktionen zu verwenden. Die ist punktweise definiert, also gilt \((L_1+L_2)(x_1+x_2)=L_1(x_1+x_2)+L_2(x_1+x_2).\) Jetzt kann man die Linearität von \(L_1\) und \(L_2\) verwenden, und erhält \(L_1(x_1)+L_1(x_2)+L_2(x_1)+L_2(x_2)\). Als nächstes wird umsortiert zu \(L_1(x_1)+L_2(x_1)+L_1(x_2)+L_2(x_2)\). Das kann man machen, da die Addition in einem Vektorraum kommutativ ist. Als letztes verwenden wir wieder die Definition der Summe von zwei Funktionen, um auf \((L_1+L_2)(x_1)+(L_1+L_2)(x_2)\).

Alle anderen Rechnungen gehen analog: Verwende zuerst die Definition von Summe/Skalarprodukt von Funktionen, dann die Linearität, Sortiere um, und dann wieder zurück. Versuch nochmal, die anderen nachzuvollziehen.
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Danke für deine Antwort! Ich habs mir eben nochmal angesehen.. Die Umformungen verstehe ich mitlerweile.. Dieser ganze Buchstabensalat ist einfach abschreckend gewesen.

Jetzt muss ich mir nur den Rest noch einmal genauer ansehen und dann vor allem auch verstehen. Urgh..
  ─   user2c2a4b 13.05.2021 um 20:56

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