Absolute Konvergenz von Sinus und Cosinus in Reihendarstellung

Aufrufe: 234     Aktiv: 06.10.2022 um 11:10
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Hallo :)
Ich habe 2 Frage:
1. Wenn ich den Cosinus in Reihenform in das Quotientenkriterium stecke und den lim von k->unendlich bilde, erhalte ich 0. In unserem Skript steht aber, dass die Zahl, die rauskommen muss, damit der Cosinus absolut konvergent ist, in dem Intervall (0,1) liegen muss, das heißt, der Cosinus ist nicht absolut konvergent. Das ist aber falsch, denn er ist ja absolut konvergent... Was habe ich falsch gemacht?
2. Wenn ich dasselbe mit dem Sinus in Reihendarstellung mache, erhalte ich irgendwann: |z^2|*(2k+1)/(2k+3) und wenn ich nun davon den lim mache kommt ja z-z (wobei das hintere z komplex konjugiert ist) und das ist ja nicht unbedingt in (0,1), das heißt auch hieraus folgere ich, dass der Sinus nicht absolut konvergent ist, obwohl ich weiß, dass er es doch eigentlich sein müsste...
Kann mir bitte jemand helfen, hab in einer Woche mündliche Klausur und verstehe nur Bahnhof...

EDIT vom 05.10.2022 um 15:30:

Hier sind meine Rechnungen:

Das Problem beim Cosinus hat sie eigentlich erledigt, denn ich habe im Internet gelesen, dass das für absolute Konvergenz gilt, wenn q=0 ist.
Aber der Sinus ist mir ein Rätsel, denn (2k+1)/(2k+3) ergibt für mich im unendlichen 1, das ergibt dann aber keine absolute Konvergenz.
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Student, Punkte: 22

 
Vollständige Rechnungen hochladen. Alles andere zu kommentieren führt nur zu Missverständnissen.   ─   cauchy 04.10.2022 um 19:03
Habe meine Rechnung hochgeladen :)   ─   emiliahlg 05.10.2022 um 15:30
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1 Antwort
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Wie aus $z\overline{z}$ plötzlich $z+\overline{z}$ wird, weiß ich nicht. Falsch abgeschrieben?

Das Quotientenkriterium lautet: Gibt es ein $q$, unabhängig von $n$, so dass $\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\leq q<1$ für alle $n\in\mathbb{N}$ gilt, so ist die Reihe absolut konvergent. Es ist also auch $q=0$ zulässig.
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Selbstständig, Punkte: 27.3K

 
q kann nicht 0 sein weil dann der Limes nicht definiert ist   ─   mathejean 05.10.2022 um 21:20
@cauchy Ja, das habe ich falsch abgeschrieben...
Alle anderen Kommentare verwirren mich ehrlich gesagt...
@mikn Was meinst du mit blind für die Fakultät einsetzen, hab ich einen Fehler gemacht beim Kürzen, wenn ja wäre es sehr nett, wenn du dazuschreiben kannst, was du genau meinst, weil so kann ich leider nicht viel damit anfangen :)
Mir geht es hauptsächlich um den Sinus, weil ich da bei der Rechnung nicht weiter weiß.   ─   emiliahlg 05.10.2022 um 22:30
@mikn, danke für die Ergänzung mit dem Limes. Ich wollte eigentlich darauf hinaus, dass die Bedingung $q\in (0,1)$ gar nicht notwendig ist, so wie es beim Fragy steht, da es sich direkt aus der Bedingung $|\cdot|\leq q < 1$ ergibt. Erst bei Betrachtung des Grenzwertes kann dann natürlich der Fall $q=0$ auftreten. Und streng genommen wird auch $a_n\neq 0$ für fast alle $n$ angenommen.   ─   cauchy 05.10.2022 um 22:39
@mikn Okay, ich habe leider keine Ahnung, was ich an der Stelle falsch gemacht habe... (2k+3)! ist dasselbe wie (2k)!*(2k+3) oder nicht?   ─   emiliahlg 06.10.2022 um 10:09

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