Matrixmultiplikation Beweis

Aufrufe: 608     Aktiv: 23.06.2020 um 23:02
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Hallo, 

folgende Aufgabe:

Menge \(G:\) \(\begin{pmatrix}1-x&0&x\\0&0&0\\x&0&1-x \end{pmatrix}\) \(\in Mat_3(\mathbb{R}) | x \neq \frac{1}{2}\)

Es ist zu zeigen, dass für alle \(A,B \in G\) auch \(AB \in G\) gilt und das neutrale Element bezüglich der Matrixmultiplikation zu bestimmen.

Mein Ansatz:

\(A = \begin{pmatrix}1-x&0&x\\0&0&0\\x&0&1-x \end{pmatrix}\) \(B= \begin{pmatrix}1-y &0& y\\0&0&0\\y&0&1-y \end{pmatrix}\)

\(AB =\begin{pmatrix}-x+2xy-y+1&0&x-2xy+y\\0&0&0\\x-2xy+y&0&-x+2xy-y+1 \end{pmatrix}\)

 

Ab hier weiß ich dann nicht mehr weiter..

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Student, Punkte: 96

 
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Du hast die Lösung schon fast. 

Du willst ja, dass deine berechnete Matrix aussieht wie G

Ziehe die 1 in der 1.Zeile & 1.Spalte und in der 3.Zeile & 3. Spalte mal nach vorne und klammere dann ein Minus vom Rest aus (also 1-(...)). dann wird dort stehen: 1-(x-2xy+y)

Betrachte es mal, wenn du z=x-2xy+y setzt.

Schon bist du fertig, dann dann sieht AB aus wie G, nur mit z statt mit x

 

 

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Student, Punkte: 54

 
Dann hab ich jetzt: \(AB = \begin{pmatrix}1-(x-2xy+y)&0&x-2xy+y\\0&0&0\\x-2xy+y&0&1-(x-2xy+y) \end{pmatrix}\)

Aber wie komm ich von da nach: \begin{pmatrix}1-z&0&z\\0&0&0\\z&0&1-z \end{pmatrix}   ─   mathematikmachtspaß 23.06.2020 um 19:00
Eigentlich ist das, was du jetzt für AB da stehen hast schon die Lösung. Jetzt musst du nur noch argumentativ schlussfolgern, dass AB Element aus G ist. Das machst du indem du in gewisser Weise substituierst und zwar einfach mit z:= x-2xy+y.
   ─   sophie2807 23.06.2020 um 19:50
Wie genau funktioniert das hier mit der Substitution?   ─   mathematikmachtspaß 23.06.2020 um 20:14
Genauso wie sonst auch. Du ersetzt einfach (x-2xy+y) durch z. Dann wird 1-(x-2xy+y) mit der Substitution z:=(x-2xy+y) zu 1-z. (1.Zeile & 1.Spalte und 3.Zeile & 3.Spalte). Da wo vorher x-2xy+y stand, steht dann nur noch z (3.Zeile & 1.Spalte und 1.Zeile & 3.Spalte)   ─   sophie2807 23.06.2020 um 22:19
Ah, ok, jetzt hab ichs verstanden. Danke!   ─   mathematikmachtspaß 23.06.2020 um 22:41
Immer gerne^^   ─   sophie2807 23.06.2020 um 22:42
Und wie komm ich zum neutralen Element?   ─   mathematikmachtspaß 23.06.2020 um 22:42
Du weist ja wie Matrixmultiplikation funktioniert. Jetzt musst du also eine Matrix E finden, für die gilt GM = G. Das ist immer die Einheitsmatrix.   ─   sophie2807 23.06.2020 um 22:46
Das neutrale Element in G bzgl. der Matrixmultiplikation ist die Einheitsmatrix?   ─   mathematikmachtspaß 23.06.2020 um 22:50
Ja, probiere es doch mal aus. Rechne GE mit E ist die Einheitsmatrix einfach mal aus. und wenn wieder G rauskommt, hast du dein neutrales Element
   ─   sophie2807 23.06.2020 um 22:52
Alles klar, danke!   ─   mathematikmachtspaß 23.06.2020 um 23:02

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