Ich verstehe deine Aussage nicht ganz... Erstens: Meinst du mit Hochzahl Potenz?

Dann ist deine Aussage ja falsch, da x^1 = x definitiv keine Hyperbel darstellt. Und was soll angenommen positiv sein? Soll n eine natürlich Zahl sein?

n = unendlich ergibt auch relativ wenig Sinn, meinst du den Limes?

Ich nehme jetzt einfach mal das an, was ich gefragt hab. Dann ist es so, dass mit steigender Potenz die Potenz der Ableitung ja immer um n-1 mit größer wird (Potenzregel). Nun betrachte diese Ableitung und schau dir an, wo diese 0 oder quasi 0 ist. 

Du wirst merken, dass aufgrund der immer größer werdenden Potenz die Funktion quasi an der x-Achse für die ersten Werte "klebt" und ab einem gewissen Wert dann extrem steil ansteigt.

Da du Schüler bist wie ich sehe, verzichte ich an dieser Stelle auf Details, warum der Graph z.B. immer eckiger wird, um dich nicht zu verwirren.

Ich hoffe, ich konnte dir helfen.

Überleg dir mal stattdessen die Frage was passiert wenn du nur die positive Hälfte der x Achse einschließlich der 0 betrachtest und dann die Funktion f(x) = x^(1/n) wobei n natürliche Zahl ist und immer größer wird

Die Kurve, die man für ungerade Hochzahlen erhält ist keine Hyperbel. Eine Hyperbel ist der Graph der Funktion `f(x) = 1/x`. Aber der Graph der Funktion `f(x) = x^3` ist keine Hyperbel.

Quadratisch ist von den von dir genannten übrigens nur die Funktion `f(x) = x^2`, also der Fall `n=2`. Die allgemeine Bezeichnung ist Potenzfunktion.