Ableitung e^-x

Aufrufe: 29     Aktiv: 11.02.2021 um 18:35

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f(x)= e^-x Die Stammfunktion ist ja F(x)= -e^-x Ist dann die 1.Ableitung auch f’(x)= -e^-x ?? Aber warum????
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Schüler, Punkte: 19

 

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1 Antwort
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Du verwendest die Kettenregel. Um es ganz ausführlich zu machen: Setze \(g(x)=e^x\) und \(h(x)=-x\). Dann gilt \(g'(x)=e^x\) und \(h'(x)=-1\). Es folgt mit der Kettenregel $$f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)=e^{-x}\cdot -1=-e^{-x}$$
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ah ok aber wie kommt man auf die Stammfunktion? muss man das mit partielle integration machen?
  ─   endo 11.02.2021 um 18:31

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Man kann einfach sehen, dass \(-e^{-x}\) eine Stammfunktion ist, weil ja beim Ableiten ein Minus dazukommt. Partielle Integration ist nicht hilfreich, glaube ich. Man lernt auch oft die Formel \(\int f(ax+b)\,dx=\frac1aF(ax+b)+C\), falls \(F\) eine Stammfunktion von \(f\) ist. Das ist hier auch der Fall, mit \(f(x)=F(x)=e^x,a=-1,b=0\). Ansonsten kann man auch \(u=-x\) substituieren, wenn du weißt, wie das geht.   ─   stal 11.02.2021 um 18:34

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Bei solch einfachen e-Funktionen kann man das einfach rückwärts machen. Es gilt \(f^{(n)}(x)=(-1)^n\mathrm{e}^{-x}\).   ─   cauchy 11.02.2021 um 18:35

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