Hallo niklasstu

Also wir nehmen an, dass der ker\((f)\) =  0 ist. Für Injektivität muss man zeigen: \( f(v) = f(w) \implies v = w \)

\( f(v) = f(w) \iff f(v)-f(w) = 0\), mit Linearität folgt \(f(v-w) = 0\), da der Kern Null ist per Voraussetzung folgt  \(v = w\), also Injektivität.

Eine Abbildung ist dann surjektiv, wenn alle Elemente im bild\((f)\) "getroffen" werden, da dim(ker\((f)\)) = 0 ist, folgt dim( im(\(f\)) ) = dim\((V)\), weil das Bild ausserdem ein Teilraum ist mit der gleichen Dimension ist es gerade \(V\) selbst, also jedes Element aus dem Bild hat ein Urbild unter f, was gerade Surjektivität ist.