Es geht um einen metrischen Raum(X,d)

Aufrufe: 116     Aktiv: 10.04.2022 um 18:39

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Sei (X,d) ein metrischer Raum. Sei D : X x X nach R die Abbildung

      D(x,y):=min{d(x,y),1}  , x,y e R

Es ist zu zeigen, dass(X,D) ein metrischer Raum ist.

Könnte bei dieser Definition der mindest Abstand von x nach y  = 1 gemeint sein? Könnte das die p Norm sein?
Ein Hinweis zur Beweisfühung wäre gut.
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1 Antwort
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Nein und nein. Wieso sollte das die p-Norm sein? Es ist weder ein p drin noch eine Norm.
Kannst Du die Def. von D richtig lesen? Es geht hier ja nicht um Interpretationen und Meinungen, sondern ist es ganz präzise definiert.
Auf Basis einer Metrik d ist eine neue (mutmaßliche) Metrik D definiert.
Fang also an, die Eigenschaften für Metrik schrittweise nachzurechnen. Da sind auch ganz einfache dabei, die Du bestimmt hinkriegst.
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Das ist natürlich klar, das es sich hier um keine p Norm handelt. Lese ich die Definition so richtig ? es handelt sich um den mindest Abstand zwischen x und y, der 1 beträgt, und ich muss jetzt die Axiome eines metrischen Raums mit dem Abstand 1 nachrechnen und so zeigen, dass es sich um einen metrischen Raum handelt. Also d(x,y) = 1<=>x ungl.y...?   ─   atideva 10.04.2022 um 17:51

Nein, $D(x,y)$ ist das Minimum aus $\{1,d(x,y)\}$.   ─   zest 10.04.2022 um 18:08

Naja, Du hast gefragt, ob es die p-Norm sein könnte, das fragt man ja nicht, wenn es "natürlich klar ist", dass es nicht die p-Norm ist.
D ist, wie zest auch sagte, das Minimum von zwei Zahlen, wie angegeben. Minimum einer zweielementigen Menge, Standardschreibweise.
Beim Durcharbeiten der Bedingungen muss man dann Fallunterscheidungen vornehmen, das siehst Du dann schon.
  ─   mikn 10.04.2022 um 18:37

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