Herleitung der Formel für orthogonale lineare Funktionen

Erste Frage Aufrufe: 266     Aktiv: 08.05.2023 um 17:14

0

Hallo,
kann mir jemand die 
Gesetzesmäßigkeit für orthogonale lineare Funktionen erklären denn es gilt m1 * m2 = -1 ? Wie kann ich diese Formel herleiten?

Diese Frage melden
gefragt

Punkte: 10

 
Kommentar schreiben
2 Antworten
0

Ich gebe dir mal eine Antwort, frag bitte einfach nach, falls ich vielleicht Begriffe verwende, die du nicht kennst. Ich versuche möglichst intuitiv, aber dafür nicht 100% rigoros zu argumentieren. Ich nehme weiterhin an, dass die Geraden bei die Form $g_i=m_i x+b_i$ ($i=1,2$) haben.

1. Fall: $m_2,m_1 \neq 0$. Sonst sind die beiden Geraden lediglich verschobene $x$ und $y$-Achsen. Diese sind klar orthogonal 

2.Fall $m_2=m_1$ und $m_1 \neq 0$. In diesem Fall sind beide geraden parallel. In diesem Fall sind sie nicht orthogonal.

3.Fall $m_2 \neq m_1$ und beide $m_i \neq 0$. In diesem Fall gibt es einen Schnittpunkt. Wir können beide Geraden so verschieben, dass der Schnittpunkt im Nullpunkt liegt. Zwei Graphen sind orthogonal an ihrem Punkt, wenn die jeweiligen Graphen der Tangenten im Schnittpunkt orthogonal zueinander sind. Wir berechnen nun also die Tangente der beide Graphen in ihrem Schnittpunkt $(0|0)$: 

$$Tg_1(x)=m_1x \\ Tg_2 (x)=m_2 x. $$

Somit können die Tangenten als Vektoren im $\mathbb{R}^2$ interpretieren, nämlich

$$v_1=\begin{pmatrix}x \\ m_1 x \end{pmatrix}  \text{ und } v_2=\begin{pmatrix} x \\ m_2 x \end{pmatrix} $$. Zwei Vektoren sind orthogonal zueinandern, genau dann wenn $v_1 \dot v_2=0$ (das Skalarprodukt verschwindet). Daraus ergibt sich 

$$x^2+m_1m_2x^2=0$$.

Da Zwei Punkte nicht orthogonal sein können (Orthogonal ist ein Begriff für Geraden/Ebenen/...), können wir $x =$ ausschließen und wir teilen durch $x^2$:

$$1+m_1m_2=0 \iff   m_1m_2=-1$$.

Damit ist die Aussage hergeleitet. 

 

Für diejenigien, die es Interessiert und schon studieren: Man müsste die Geraden als eingebettete Submannifaltigkeiten im euklidischen $\mathbb{R^2}$ betrachten, den Tangentialraum in dem Schnittpunkt sich angucken und schauen, wann genau die 2 Tangentialvektoren (bis auf Vielfache) orthogonal zueiander sind.

Diese Antwort melden
geantwortet

Punkte: 472

 

Kommentar schreiben

0
Wurde schon häufiger hier beantwortet. Eine Antwort auf entsprechend geringerem Niveau findest du hier: https://www.mathefragen.de/frage/q/029c936579/steigungen-rechtwinklig-zueinander-sind-muss-ihr-produkt-gleich-1-sein-warum-gilt-das-danke/
Diese Antwort melden
geantwortet

Selbstständig, Punkte: 30.55K

 

Vielen lieben Dank. Das waren super Erklärungen.   ─   user3c0a24 08.05.2023 um 16:50

Da Du neu hier bist, lies bitte den Kodex (link oben rechts). Insb. gewöhn Dir gleich an, beantwortete Fragen als solche abzuhaken (Anleitung siehe e-mail). Nutze auch vor dem Posten einer Frage die Suchfunktion - nicht wenige Fragen wurden hier schon gestellt, so kannst Du gleich Antworten dazu nachlesen.   ─   mikn 08.05.2023 um 17:14

Kommentar schreiben