Auf Vektorraum prüfen

Aufrufe: 654     Aktiv: 28.07.2021 um 18:00
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Hey, könnte mir bitte jemand bei diesen Aufgaben helfen?

a) Ist U = {\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} ∈ \(ℝ^{2}\) | \(x^{2}\) + x +\(y^{2}\) +y =0} ein ℝ-Vektorraum?
 
b) Für welche λ ∈ ℝ ist Vλ = {  \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} ∈ \(ℝ^{3}\) |2x+3y=λ} ein ℝ-Vektorraum?
 
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2 Antworten
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Bei (a) findet man schnell ein Gegenbeispiel und bei (b) schau mal, wann der Nullvektor drinne ist und wann nicht.
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Student, Punkte: 10.87K

 
Okay und was wäre zum Beispiel so ein Gegenbeispiel ?   ─   user4e3d2f 28.07.2021 um 14:42
cuni hat ein Gegenbeispiel gegeben, versuch aber unbedingt nachzuvollziehen, wie man sich so ein Beispiel konstruiert, sowas muss man nämlich sofort sehen können!   ─   mathejean 28.07.2021 um 14:46
Okay, könntest du mir vielleicht noch sagen warum genau aus dem Gegenbeispiel folgt das U kein Vektorraum ist?   ─   user4e3d2f 28.07.2021 um 15:23
Es ist \((-1,-1) \in U\), aber \((-1) \cdot (-1,-1) = (1,1) \not \in U\)   ─   mathejean 28.07.2021 um 15:24
λ * (-1, -1) müsste dann auch in U liegen?   ─   user4e3d2f 28.07.2021 um 15:55
Was?   ─   mathejean 28.07.2021 um 15:58
Ich meinte damit das die Vielfachen von (-1, -1) also auch in U liegen müssten damit wir einen Vektorraum haben. Oder wie ist der Zusammenhang?   ─   user4e3d2f 28.07.2021 um 17:39
Genau!   ─   mathejean 28.07.2021 um 17:53

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Zu a)
Der Vektor $(-1;-1)^T$ liegt in $U$. Der Vektor $(1;1)^T$ aber nicht. Wieso ist das so und warum ist $U$ damit kein Vektorraum. (Axiome Vektorraum)

Zu b)
Die Lösung ist $\lambda=0$.
Für $\lambda \neq 0$ ist der Beweis genau wie bei a. Du suchst dir 2 Vektoren, die zusammensummiert nicht in $V_\lambda$ liegen oder du suchst dir einen Vektor $v\in V_\lambda$, sodass ein Vielfaches nicht in $V_\lambda$ liegt oder dz zeigst, dass der Nullvektor nicht drin ist.
Für $\lambda = 0$ beweist du die 3 Axiome.
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Punkte: 705

 
Naja dann hätten wir mit unserer Bedingung 1 + 1 + 1 + 1 = 0, was aber nicht stimmt. Aber ich weiß noch nicht ganz wegen welchem Axiom jetzt folgt, dass U kein Vektorraum ist.   ─   user4e3d2f 28.07.2021 um 14:58
Das widerspricht der Abgeschlossenheit der Skalarmultiplikaton.
$ \forall a\in \mathbb{K}\forall v\in V:a\cdot v \in V $
   ─   cunni 28.07.2021 um 17:37

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