Exponentialfunktionen/exponentielles Wachstum

Aufrufe: 198     Aktiv: 06.04.2022 um 15:42

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Guten Tag, kann mir jemand beim lösen folgender Aufgabe helfen? 

Die Familien Wagenichts und Wagewas spielen seit Jahren gemeinsam Lotto. In der letzten Woche haben sie nach Jahren des Misserfolgs zum ersten Mal gewonnen, nämlich 20.000€ Der Betrag wird selbstverständlich gerecht verteilt. Jetzt dtehen beide Familien vor der Frage, was sie mit dem Geld machen. 

Familie Wagenichts investiert das gesamte Kapital direkt in einen neuen Kleinwagen. Dieser verliert jedes Jahr 20% seines Wertes.
Familie Wagewas investiert das Geld in einen Aktienfond, der eine jährliche Rendite von 5% verspricht. 

a) berechne unter den gegebenen Voraussetzungen den Restwert des Autos beziehungsweise den Wert des Aktienfonds nach ein, zwei, drei, fünf und zehn Jahren. erstelle jeweils eine Tabelle. (Hab ich schon erledigt, werte hab ich)
b) Übertrage die Werte aus der Tabelle in ein Koordinatensystem und zeichne jeweils den zugehörigen Graphen ein. Beschreibe den Verlauf des Graphen so genau wie möglich. (Hab ich versucht, 2. Graph kam eine linie raus, falsch?)
c) Versuche eine Gleichung zu finden, mit der sich der Wert des Autos/Fonds zu einem beliebigen Zeitpunkt x bestimmen lässt. (Hab ich nicht 😅)
d) Finde (möglichst exaxt!) heraus, nach welcher Zeit der Kleinwagen nur noch die Hälfte (ein Drittel) seines Ursprünglichen Wertes hat. Wie lässt sich dieser Wert aus der Zeichnung ermitteln? Wie rechnerisch? 

e) Finde heraus, nach wievielen Jahren sich das Kapital von Familie Wagewas verdoppelt hat. Wie lässt sich dieser Wert aus der Zeichnung ermitteln? Wie rechnerisch? 


Ich weiß das ist ziemlich viel, das Thema ist neu und der Lehrer haut uns so eine rein. Ich erwarte auch keine Lösung, Hilfe beim lösen von b,c,d,e brauch ich aber aufjedenfall 😅😅😅 

VG & danke im Voraus 

gefragt

Schüler, Punkte: 12

 

Der Lehrer hat deswegen so rein, weil das eine Einführungsaufgabe ist, bei der man mal ein bisschen rumtüfteln soll. Deswegen wird auch erst in Aufgabe c) nach einer Gleichung gefragt und nicht schon in Aufgabe a), was sonst für solche Aufgaben typisch ist. Es geht bei der Aufgabe also in erster Linie darum, sich mal damit zu beschäftigen.   ─   cauchy 04.04.2022 um 22:07
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1 Antwort
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Hier geht es um Zinseszinsrechnung.
Fangen wir mal mit dem Aktienfonds an. jährlich 5  % Rendite heißt Anfangskapital \(K_0=10000.\)
Nach einem Jahr :\(K_1=10000*1,05=10500\)
Nach 2 Jahren : \(K_2= K_1*1,05 = K_0*(1,05)^2\)
nach n Jahren :\(K_n=K_0*(1,05)^n\) (das ist Lösung für c)
Mit dem Auto geht es ähnlich: Anfangswert \(A_0=10000 \)
Wert nach einem Jahr: \(A_1=10000*0,8=8000\)
Wert nach 2 Jahren \(A_2= A_1*0,8=A_0*(0,8)^2\) (Lösung für c)
zu d) Wann ist der Kleinwagen die Hälfte wert? 
Ansatz \({A_0 \over 2} = A_0*(0,8)^n\) daraus musst du n bestimmen.
Mit dem Kapital geht es ähnlich

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Erstmal danke für die Hilfe, ich verstehe nur den Ansatz nicht. Man hat A0:2 = A0*(0,8)^n, das kann aber mit garkeinem exponenten aufgehen dass man auf die 5000€ kommt. Ich hab‘s jetzt mit allen natürlichen Zahlen durchprobiert mit dem Taschenrechner, es kam nix.
  ─   mathe.ist.cool 04.04.2022 um 20:17

Gut das du das probiert hast.👍 Genau auf 5000 wirst du nicht kommen. Aber du kannst sicher durchs probieren sagen nach wie viel Jahren du erstmalig unter die 5000 gekommen bist?   ─   maqu 04.04.2022 um 20:26

Erstmalig unter die 5000 wären ^4, näher dran wäre aber ^3 mit 5120€ was sagt mir das über die Aufgabe?   ─   mathe.ist.cool 04.04.2022 um 20:31

Naja hat sich der Wert des Autos denn nach 3 Jahren bereits halbiert oder noch nicht?   ─   maqu 04.04.2022 um 20:41

Ja bis auf 120€ ist es auf der Hälfte, das wäre ja die Lösung für den rechnerischen teil, wie sähe es dann grafisch aus   ─   mathe.ist.cool 04.04.2022 um 20:54

Nein denn wie du sagst bis auf die 120€ ist die Hälfte noch nicht erreicht wurden. Erst ab dem vierten Jahr liegt der Wert unter 5000 wodurch du also erst ab da die Hälfte unterschritten hast. Grafisch ziehst du einfach mal eine horizontale Linie auf der Höhe der $y$-Achse bei 5000, dann erkennt man das ab n=4 Jahren das erste mal der Wert diese Linie unterschritten hat.   ─   maqu 04.04.2022 um 21:15

geht es erst ab überschritten? Weil 120 ist VIEL näher dran an der Häflte.   ─   mathe.ist.cool 04.04.2022 um 21:28

Ja er geht darum ab wenn die Hälfte erreicht (überschritten) wurde und nicht wann man am nächsten dran ist   ─   maqu 04.04.2022 um 22:24

Achsoo, ja dann, Dankeschön 😅   ─   mathe.ist.cool 05.04.2022 um 07:25

Bei d) heißt es :" Finde ( möglichst exakt) heraus ...."
Da sollte man die Funktionsgleichung nach n auflösen, wobei n keine ganze Zahl sein muss.
  ─   scotchwhisky 05.04.2022 um 10:51

@scotchwhiskey du hast recht, wer lesen kann ist klar im Vorteil, Danke!   ─   maqu 05.04.2022 um 11:26

👍   ─   scotchwhisky 05.04.2022 um 11:42

Wie löse ich denn nach n auf, Äquivalenzumformungen?   ─   mathe.ist.cool 05.04.2022 um 18:18

Schon mal was von Logarithmus gehört?   ─   scotchwhisky 05.04.2022 um 18:53

Das hatten wir nicht 😬😬 können sie mir vielleicht erklären wie ich das tue? ich hab einen Taschenrechner der kann das bestimmt   ─   mathe.ist.cool 05.04.2022 um 18:59

Ohne den Logarithmus zu kennen wird es wohl nur durch probieren gehen … in dem Fall warst du @mathe.ist.cool mit deinem Gedanken zu n=3 schon richtig   ─   maqu 05.04.2022 um 19:24

Ich sage es gerne nochmal: Die Aufgabe dient als Einstieg in das Thema. Man soll sich Gedanken machen und nach einer Lösung suchen. Dabei ist Ausprobieren durchaus legitim. Auf die Zeichnung kann hilfreich sein, um da eine Idee zu geben, wo man anfängt. Und dann kann man eben versuchen, den Wert immer weiter anzunähern, indem man die Zahl in immer kleineren Schritten verändert.

Ansonsten hast du ja nun das passende Stichwort bekommen. Man könnte ja auch einmal selbst recherchieren, was es damit auf sich hat.
  ─   cauchy 05.04.2022 um 20:43

Hab mir das jetzt angeschaut, bin mir nur nicht Schlüssig inwiefern mir das weiterhilft denn es kommt eine negative Zahl raus die sogar ziemlich hoch ist und wenn ich die dann verrechne kommt der Taschenrechner auf 2.5E+7, das sind definitiv keine 5000€, generell hätte ich noch die Frage wie man die Oben notierte Gleichung so umstellt dass man auch vernünftig logarithmieren kann, das hab ich nämlich nicht gemacht.   ─   mathe.ist.cool 05.04.2022 um 22:19

So macht man's:
\({A_0 \over 2} =A_0*0,8^t \Rightarrow {1 \over 2}=0,8^t \Rightarrow \ln({1 \over 2})=\ln(0,8)^t =t*\ln(0,8) \Rightarrow t = {\ln({1 \over 2}) \over \ln(0,8)} =3,106 \Rightarrow \text { 3 Jahre 38 Tage}\)
  ─   scotchwhisky 06.04.2022 um 02:26

Das versteht nun auch jemand, der vom Logarithmus noch nie etwas gehört hat... Aber Lösungen posten ist ja am einfachsten. Wozu die Mühe einer Erklärung?   ─   cauchy 06.04.2022 um 04:39

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Ich hab schon von gehört, verstehen tu ich es trotzdem nicht ganz. Es geht mir hier ja auch nicht um die Lösung, ich muss die Aufgabe immerhin erklären, wenn da nur Lösungen stehen geht das doch ziemlich schlecht oder? Ich werd mal gucken was ich auf YouTube oder im Internet dazu finde es mir selbst beizubringen was das Logarithmieren angeht, danke trotzdem für die Hilfen!   ─   mathe.ist.cool 06.04.2022 um 07:01

Versuche Mal, Schritt für Schritt nachzuvollziehen.
Zumindest der 1. Schritt sollte klar sein. Daraus kann man zumindest schon folgern:
Egal wie hoch der Anfangswert \(A_0\) ist, ob 10000 oder 10, die Hälfte davon wird bei gegebener Abnahmerate von 20% immer nach 3 Jahren und 38 Tagen erreicht. Das nennt man auch die Halbwertzeit bei Abnahmerate 20 %.
  ─   scotchwhisky 06.04.2022 um 08:31

Das hab ich garnicht in Betracht gezogen, eins versteh ich aber nicht, sie haben ln(1/2):ln(0,8) gerechnet, wenn ich das selbe im Taschenrechner eintippe kommt ein ganz anderer Wert raus.
Außerdem, hat jeder Zerfall und jedes Wachstum diese Rate? Beim Wachstum würde es dann denke ich anders heißen aber vom Aufbau her gleich
  ─   mathe.ist.cool 06.04.2022 um 12:47

Entweder tippst du was falsches ein oder dein Taschenrechner ist kaputt.
Es gibt natürlich viele unterschiedliche Wachstums- und Zerfallsraten. Die haben dann auch andere Verdoppelungs- bzw. Halbwertzeiten..
  ─   scotchwhisky 06.04.2022 um 15:42

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