LGS mit Mantisse berechnen

Aufrufe: 664     Aktiv: 08.11.2021 um 22:26
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Guten Abend,
 
ich habe Schwierigkeiten folgende Aufgabe zu lösen:
 
Gegeben sei das LGS:
 
$10^{-12}x+y+z=2 $
 
$x+2y-z=2 $
 
$-x+y+z=1$
 
 
Bei der Berechnung stehen Gleitpunktzahlen mit 10 Stellen für die Mantisse zur Verfügung. Ich soll die Lösung mit Hilfe des Gaußschen Eliminationsverfahren lösen. 
a) ohne Pivotsuche
b) mit Spalten-Pivotsuche
 
Ebenfalls soll ich auch die exakte Lösung berechnen.
 
Die exakte Lösung berechne ich einfach, in dem ich die erweiterte Koeffizientenmatrix aufstelle und dann mit dem $10^{-12}$ rechne, oder?
 
Ich weiß jedoch nicht wirklich, wie ich die Information mit der Mantisse benutzen soll. Die Mantisse haben wir so definiert:
 
$a=\pm M *b^{\pm E}$ 
 
wobei M die Mantisse ist mit $M= 0. m1 \cdots m_{r} $ einen Exponenten E und die $m_{i} \in \{0,...,b-1 \}$
 
Hier würde man vermutlich einfach die Basis $10$ nehmen und ich die Mantisse ist hier $M=0.m_{1}...m_{10}$ weil ich 10 Stellen habe richtig?
 
Aber wie rechne ich in meinem LGS damit, also muss ich die $10^{-12}$ jetzt damit darstellen?
 
Vielen Dank für die Hilfe
Lgs
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Deine Vermutung sind alle richtig.
Exakte Lösung: Ja, genauso. Die brauchst Du nur einmal rechnen (sollte mit und ohne Pivotsuche das gleiche rauskommen).

Nun beide Varianten mit den 10-stelligen Gleitpunktzahlen. Das nennt man 10-stellige Gleitpunktarithmetik und sollte in der Vorlesung erklärt worden sein. Normalerweise (Deine Vorlesung zählt, nicht was ich vermute!) bedeutet das, jeder einzelne Rechenschritt wird mit 10-stelligen GPZen exakt gerechnet und VOR dem Weiterrechnen wieder auf 10GP-Stellen gerundet. Beachte GLEITpunkt.
10^(-12) ist also exakt darstellbar. Aber 1+10^(-12) nicht.
Was ergibt also 1+10^(-12) in 10-stelliger GP-Arithmetik?

Die Aufgabe ist evtl etwas mühselig, normalerweise macht man da ein 2-dim Beispiel.
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