Ich verstehe auch nicht was dort gemacht wird. Man ist "eigentlich" dort schon fast fertig. Als erstes fängt es an mit "Sei $\varepsilon >0$ beliebig gegeben. Man wählt $N(\varepsilon)=\ldots$. Dann gilt für alle $n\geq N(\varepsilon)$:" und dann kommt deine Rechnung. Wo $\ldots$ stehen lässt man erstmal frei und ergänzt später was man wählen man, damit seine Grenzwertbetrachtung genau aufgeht. In deiner Rechnung würde es nun weitergehen mit

$$\ldots <\dfrac{2}{n} \leq \dfrac{2}{N(\varepsilon)}=\ldots =\varepsilon$$

Wie muss nun $N(\varepsilon)$ gewählt werden damit alles aufgeht?