Definitionslücke, Polstelle und Kehrwert

Aufrufe: 94     Aktiv: 11.03.2023 um 22:46
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Also die Aufgabenstellung ist folgende:
Wenn f eine Polstelle hat, dann hat g mit g(x) = 1 / f(x) auch eine Polstelle. 

Ich denke dass dies richtig ist, denn wenn f einen Wert hat, der nicht definiert ist, kann man auch nichts in den Nenner schreiben.

Die Lösung jedoch sagt das Gegenteil, sie gibt als Beispiel f(x) = 1/x
Also g(x) = 1 / 1 / x
Weiter erklären sie es dann mit den Kehrwert, man " zieht " sozusagen das x nach oben, sodass am Ende g(x) = x herauskommt, was keine Polstelle hat.

Meine Frage nun: muss ich den Kehrwert verwenden für 1 / 1 / x ? Denn wenn ich es nicht tue, sondern einfach sage, dass im Nenner (1/x) eine Definitionslücke vorhanden ist, dann komme ich ja auf das Ergebnis, dass g(x) eine Polstelle haben muss...
Danke im Voraus 
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Das, was Du "Aufgabe" nennst, ist keine solche, sondern eine Aussage. Die Aufgabe lautet anscheinend (wir müssen raten, da Du es nicht sagst) festzustellen, ob das für alle $f$ wahr ist.
Lass bitte nie die Aufgabenstellung weg, wenn Du Hilfe möchtest und uns nicht zusätzlich Arbeit machen möchtest.
Bei solchen Aufgaben probiert man am besten als erstes Beispiele aus, das einfachste wäre $f(x)=1/x$ und schon hat man die Lösung. Und "... erklären sie es...", das Beispiel ist so einfach, dass Du in der Lösung nicht weiterlesen solltest, sondern Dich damit selbst auseinandersetzen.
Deine Frage verstehe ich auch nicht. Nimm dieses Beispiel und prüfe daran, ob die vorgegebene Aussage wahr oder falsch ist und warum. Falls nötig, wiederhole dazu die Bruchrechnung. Und lass uns Dein eigenes Ergebnis wissen.
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Lehrer/Professor, Punkte: 32.86K

 
Oh tut mir leid, vollkommen mein Fehler. Die Aufgabe ist ob die Aussage richtig oder falsch ist.
Natürlich habe ich mich mit der Aufgabenstellung auseinandegesetzt, bevor ich in die Lösung geschaut habe, aber bin ich auf ein anderes Ergebnis gestoßen, welches ich nicht verstehe.

Wie auch immer, um MEINE genaue Frage auf den Punkt zu bringen: Wenn ich bspw. f(x) = 1 / x wähle, dann ist g(x) = 1 / 1 / x . MUSS ich hier den Kehrwert verwenden?

Eigene Lösung: Ich verwende den Kehrwert nicht und habe argumentiert, dass der Nenner (1 / x) eine Definitioslücke hat und dadurch auch g(x) an dieser Stelle eine Polstelle, denn (1 / nicht definierten Wert) ist nicht definierbar.

Lösung des Buches:
g(x) = 1 / 1 / x wird mithilfe des Kehrwertes zu g(x) = x . Das hat dann keine Definitionslücke.   ─   tmt.nagel 20.02.2023 um 21:48
Okay, ich formuliers nochmal etwas anders um zu erklären, wo mein Problem liegt:
Ich nehme f(x) = 1 / x .
Hier ist eine Polstelle bei x = 0.
Jetzt setze ich es in g(x) ein.
g(x) = 1 / 1 / x . Wenn ich jetzt sofort x einsetzen würde, dann habe ich direkt wieder eine Polstelle, wieder bei x = 0, und die Aussage wäre korrekt, denn:
g(0) = 1 / 1 / 0 --> man darf nicht durch 0 teilen, deswegen ist g(0) Polstelle.

Wenn ich g(x) jedoch mithilfe des Kehrwertes vereinfache zu g(x)=x, habe ich keine Polstelle mehr, und die Aussage wäre falsch, denn g(0)=0.
Deswegen die Frage, ob ich bei g(x)= 1 / 1 / x den Kehrwert verwenden muss oder nicht.
Ich komme - je nachdem - auf verschiedene Ergebnisse.   ─   tmt.nagel 21.02.2023 um 09:50
Ok, vielen Dank, nur nochmal für mich zur Kontrolle:
Wenn ich es nicht vereinfachen würde hätten wir eine Polstelle bei x=0, jedoch gibt es durch Vereinfachen einen größeren Defbereich (wo wir x=0 einsetzen können).

Sofern es dann nicht in der Aufgabenstellung anders vorgegeben ist, gehen wir IMMER vom größt-möglichen Defbereich aus. Ist das korrekt?   ─   tmt.nagel 21.02.2023 um 14:20

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