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Ja ist soweit richtig!
\(\frac{1}{8} =2\cdot \displaystyle{\int_0^{\sqrt{\frac{1}{a}}} \big{(} f(x)-g(x)\big{)} \text{d}x} \quad \Leftrightarrow \quad \frac{1}{16} =\displaystyle{\int_0^{\sqrt{\frac{1}{a}}} (-ax^3 +x) \text{d}x}\)
Der hässliche Wurzelterm solle nach dem aufleiten und einsetzen sich günstig auflösen und mit dem Rest verrechnen lassen.
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maqu
Lehrer/Professor, Punkte: 9.03K
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Viertel nicht Drittel!
─
anonym0165f
19.12.2020 um 19:56
Ja viertel und auf Vorzeichen achten:
\(\left[-\dfrac{1}{4}ax^4 +\dfrac{1}{2}x^2\right]_0^{\sqrt{\frac{1}{a}}}\) ─ maqu 19.12.2020 um 20:06
\(\left[-\dfrac{1}{4}ax^4 +\dfrac{1}{2}x^2\right]_0^{\sqrt{\frac{1}{a}}}\) ─ maqu 19.12.2020 um 20:06
Ja der nachfolgende Term wird Null. Wie gesagt pass noch auf das Vorzeichen auf und dann solltest du auf Ergebnis kommen ;)
─
maqu
19.12.2020 um 20:08
Man kann die Wurzel umschreiben \(\sqrt{\frac{1}{a}}=\left(\frac{1}{a}\right)^{\frac{1}{2}}\). Dann folgt mit den Potenzgesetzen beim Einsetzen:
\(\left(\left(\frac{1}{a}\right)^{\frac{1}{2}}\right)^4 =\left(\frac{1}{a}\right)^{\frac{1}{2} \cdot 4} =\left(\frac{1}{a}\right)^2 =\frac{1}{a^2}\)
Das dann mit \(-\dfrac{1}{4}a \) verrechnen und mit dem zweiten Term zusammenfassen. ─ maqu 19.12.2020 um 20:17
\(\left(\left(\frac{1}{a}\right)^{\frac{1}{2}}\right)^4 =\left(\frac{1}{a}\right)^{\frac{1}{2} \cdot 4} =\left(\frac{1}{a}\right)^2 =\frac{1}{a^2}\)
Das dann mit \(-\dfrac{1}{4}a \) verrechnen und mit dem zweiten Term zusammenfassen. ─ maqu 19.12.2020 um 20:17
Ja, sonst such dir zu Potenzgesetzen noch ein paar Fragen heraus, zieh dir dein Tafelwerk zur Hilfe mit ran und wende die einfach mal ein bisschen an. Wie gesagt, durch die Hand in den Verstand, hat sich immer wieder bewehrt! ^^
Aber zu deiner Aufgabe ... wieder das Minus vergessen ;) und du kannst das a kürzen. Dann den zweiten Term erweitern und zusammenfassen:
\(-\dfrac{a}{4a^2} +\dfrac{1}{2a} =-\dfrac{1}{4a} +\dfrac{2}{4a}=\dfrac{1}{4a}\)
Wenn du das nun gleich \(\dfrac{1}{16}\) setzt, bekommst du doch für \(a\) ein schönes Ergebnis heraus ;D ─ maqu 19.12.2020 um 20:44
Aber zu deiner Aufgabe ... wieder das Minus vergessen ;) und du kannst das a kürzen. Dann den zweiten Term erweitern und zusammenfassen:
\(-\dfrac{a}{4a^2} +\dfrac{1}{2a} =-\dfrac{1}{4a} +\dfrac{2}{4a}=\dfrac{1}{4a}\)
Wenn du das nun gleich \(\dfrac{1}{16}\) setzt, bekommst du doch für \(a\) ein schönes Ergebnis heraus ;D ─ maqu 19.12.2020 um 20:44
Immer gern! Ja genau \(a=4\) ist richtig. Tatsächlich brauchst du das nicht mehr machen, weil du das am Anfang bei der Symmetrie des Integrals mit einfließen lassen hast. Siehe den Anfang der Antwort
\(\frac{1}{8} =2\cdot \displaystyle{\int_0^{\sqrt{\frac{1}{a}}} \big{(} f(x)-g(x)\big{)} \text{d}x} \quad \Leftrightarrow \quad \frac{1}{16} =\displaystyle{\int_0^{\sqrt{\frac{1}{a}}} (-ax^3 +x) \text{d}x}\)
Du kannst ja gern mit deinem GTR oder Wolfram Alpha die Probe für deine erhaltene Funktion machen und wirst sehen das es stimmt ;). ─ maqu 19.12.2020 um 21:25
\(\frac{1}{8} =2\cdot \displaystyle{\int_0^{\sqrt{\frac{1}{a}}} \big{(} f(x)-g(x)\big{)} \text{d}x} \quad \Leftrightarrow \quad \frac{1}{16} =\displaystyle{\int_0^{\sqrt{\frac{1}{a}}} (-ax^3 +x) \text{d}x}\)
Du kannst ja gern mit deinem GTR oder Wolfram Alpha die Probe für deine erhaltene Funktion machen und wirst sehen das es stimmt ;). ─ maqu 19.12.2020 um 21:25
