Hallo zusammen ich habe folgendes Problem bzw folgende Aufgabe (nicht erschrecken das meiste ist der lösungsweg :D):

Die Folge \(a_{n}\) ist definiert durch \(a_{1} \)= 2 und die Rekursionsvorschrift

\(a_{n+1}\) = 2 − \(\frac{1}{a_{n}}\)

für n = 1, 2, . . ..

Verifizieren fur alle ¨ n ∈ N die Gultigkeit der Gleichung

\(a_{n} \) = \(\frac{n+1}{n}\)

indem Sie die Gleichheit per vollstäandiger Induktion beweisen

Ich bin so weit gekommen das ich den Induktionsanfang ausgerechnent habe 

was als lösung:

\(a_{2}\) = 2 − \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{3}{2}\) da  ja \(a_{1}\) = 2 ist.

Jetzt setze ich für \(a_{n}\)  = \(\frac{n+1}{n}\) ein und erhalte 

2 − \(\frac{1}{\frac{n+1}{n}}\)=\(\frac{n+1}{n+2}\)

damit der untere Bruch "verschwindet" multipiziere ich ihn mit dem oberen und erhalte

2 − \(\frac{n}{n+1}\)

Jetzt muss ich den Bruch noch so um Formen dass \(\frac{n+1}{n+2}\) raus kommt wie mach ich das ?

Danke in vorraus :D