Also du hast recht, das ist eine echt doofe Aufgabe!

Eigentlich stimmt das alles, was du gemacht hast, auch die Assoziativität beim zweiten Teil zu benutzen ist geschickt! Du hast nur in deinem Beweis dann \(1_{X}\) und  \(1_{Y}\) vertauscht. (Die Verkettung liest sich ja von rechts!)

Man könnte höchstens den Beweis für ein beliebiges Element der Definitionsmenge führen und damit die Definition der identischen Abbildung besser anwenden.

Aber grundsätzlich (wenn schon klar ist, dass \( f^{-1} \cdot f = 1_{X} \) und \( f \cdot f^{-1} = 1_{Y} \) ) müsste das auch so stimmen.

Hallo,

ich gehe mal davon aus, dass hier nicht von der Multiplikation sondern von der Komposition zweier Funktionen die Rede ist, oder?

Ich würde direkt über die Definition der Identitätsabbildung argumentieren, da deine Aussage für alle Funktionen gelten soll, aber nicht zu jede Funktion ein Inverses (eine Umkehrabbildung) existiert.

Die Definition der Idenitätsabbildung ist, 

\( 1_M: \  M \to M, \ x \to x \)

Für die Komposition zweier Funktionen gilt

\( f \circ g = f(g(x)) \)

Also folgt mit \( x \in X \) und \( f(x) \in Y \)

\( f \circ 1_X = f(1_X(x)) \) und \( 1_Y \circ f = 1_Y(f(x)) \).

Kannst du es damit beweisen?

Grüße Christian