Geben Sie alle Polynome vom Grad höchstens 2n+ 1 an, die die 2n+ 1 Nullstellen 0, ±x1, . . . , ±xn haben. Zeigen Sie, dass alle diese Polynome ungerade sind.

Aufrufe: 743     Aktiv: 03.12.2021 um 17:11
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Kann mir jemand erklären, wie diese Aufgabe funktioniert? Dazu angegeben ist noch dass hier ,,Gegeben sind n reelle Zahlen x1, . . . , xn mit 0 < x1 < . . . < xn."

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Hallo,

überlege dir mal, wie der Grad eines Polynoms mit der möglichen Anzahl an Nullstellen zusammenhängt. Dann stelle so ein Polynom mal mit Linearfaktoren da. Am besten über 

$$ p(x) = \prod \ldots $$

Du kannst auch immer zwei Linearfaktoren zusammenfassen. Als Tipp: 3. binomische Formel. 

Wenn das nicht klappt, dann schreibe das Polynom mal für ein festes \(n\) auf. Vielleicht klappt es dann besser. 

Am Ende muss noch gezeigt werden, dass das Polynom ungerade ist. Eine Ungerade Funktion muss folgende Gleichung erfüllen:

$$ f(x) = - f(-x) $$

Das kannst du dann rechnerisch zeigen.

Versuch dich mal. Wenn du nicht weiter kommst, melde dich gerne nochmal.

Grüße Christian

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Dankeschön für deine Hilfe! Ich habe es hinbekommen, nach etwas herumknobbeln:-).   ─   koala18 16.12.2020 um 16:39
Sehr gerne :) Freut mich zu hören das es geklappt hat   ─   christian_strack 16.12.2020 um 16:41

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Hallo,

ich bin auf der Suche nach einem Ansatz zu einer ähnlichen Aufgabe auf diese Frage gestoßen und bin leider nicht so richtig schlau aus der Antwort geworden.

Der Unterscheid von dieser zu meiner Aufgabe ist nur dass  nicht nach einem Polynom des Grade 2n + 1  gesucht wird und demensprechend gezeigt werden soll, dass die Funktion immer gerade ist.

Vielen Dank im Voraus für die lieben Antworten.

Lg Tobi

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Student, Punkte: 10

 
Hallo,

welche Nullstellen sollen den gegeben sein?

Grüße Christian   ─   christian_strack 30.11.2021 um 14:20
Hallo,

die Polynome sollen die Nullstellen 2n mit +-x_1 ... +-x_n haben.

Lg Tobi   ─   flixbug 03.12.2021 um 13:30
ok also alle Nullstellen wie oben, nur nicht die Nullstelle $x=0$.
Dann bastel dir dein Polynom auch mal mittels Linearfaktoren. Wie sieht denn der Linearfaktor zur Nullstelle $x_1$ aus? Wie kannst du dein Polynom dann mit Hilfe aller Linearfaktoren darstellen?   ─   christian_strack 03.12.2021 um 14:05
Ah jetzt hab ichs verstanden super

vielen lieben dank!   ─   flixbug 03.12.2021 um 14:27
Sehr gerne :)
   ─   christian_strack 03.12.2021 um 17:11

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