Vielleicht hast du schonmal eine Sekantensteigung berechnet. Dabei teilst du ja die Änderung des Funktionswertes in einem bestimmten Intervall durch die Größe des Intervalls. 
In der Integralrechnung gibt die Fläche zwischen Graph und x-Achse ja die Gesamtänderung der Stammfunktion an, die in einem bestimmten Intervall stattfindet. Teilst du diese Fläche dann durch die Größe des Intervalls, machst du praktisch eine äquivalente Operation wie die Berechnung der Sekantensteigung.
Der einzige Unterschied besteht darin, dass du bei der Sekantensteigung die Änderung der Funktionswerte durch die Intervallgröße teilst, bei der Berechnung des durchschnittlichen Funktionswertes teilst du das Integral durch die Intervallgröße

Das ist der Durchschnitt des Funktionswerts. Wenn du zB. die Durchschnittstemperatur von 10 aufeinanderfolgenden Tagen berechnen willst, kannst du die Temperaturwerte der 10 Tage addieren und dann durch 10 teilen. Wenn die Temperaturen aber kontinuierlich erhoben werden (das ist dann eine Funktion), dann wird das Addieren durch Integrieren ersetzt. Man integriert also die Funktion über den Zeitraum und teilt dann durch die Länge des Zeitraums.

Ein anderes Beispiel: Wenn die Funktion die Geschwindigkeit in Abhängigkeit von der Zeit angibt, dann ergibt das Integral den zurückgelegten Weg. Wenn man diesen durch die Länge des Zeitraums dividiert, erhält man die Durchschnittsgeschwindigkeit.