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Hallo zusammen
Ich habe ein recht "blöde" Frage, aber ich frage mich das schon seit längerer Zeit.

Wenn ich den Term habe den ich unten angefügt habe, wieso ändert sich der Definitionsbereich wenn ich eine Äquivalenzumformung mache wie das ausklammern?

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Student, Punkte: 83

 
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Das ist keine Äquivalenzumformung (diese wendet man bei Aussagen wie z.B. Gleichungen an), sondern eine Termumformung. Außerdem ist die Schreibweise nicht korrekt, es muss z.B. $D=\mathbb{R}\setminus \{1\}$ heißen.
Die Frage ist eher: warum sollte der Defbereich gleich bleiben? Er hängt immer davon ab, wie die Funktion geschrieben wird.
Z.B. $f(x)=1=\frac{x}x = \frac{x(x-1)}{x(x-1)}$ gibt drei versch. Defbereiche.
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Lehrer/Professor, Punkte: 38.83K

 

Vielen Dank für die Antwort.

Vielleicht noch kurz zum Kontext.
Wir betrachten momentan Grenzwerte von Funktionen und Stetigkeit.
Jetzt habe ich mich gefragt wieso man den einfach einen Term nehmen kann und dann so lange umformen bis man kürzen kann und dann daraus schliessen kann das der Grenzwert der gleiche ist.

Ist es weil das Verhalten der Funktion sich nicht verändert, sondern nur ihr Definitionsbereich wenn man jetzt die Grenzwertbetrachtung sich anschaut?
  ─   chrugi 21.03.2024 um 22:55

Für die Grenzwerte von zwei Termen betrachtet man ja nur Folgen, an denen beide Terme definiert sind (und damit auch gleich sind). Und wenn die Folgenterme gleich sind, sind auch die Grenzwerte gleich. Auch wenn sie teilweise nicht direkt durch Einsetzen ausgerechnet werden können.
Man spricht dabei auch von Polstellen, hebbaren Polstellen (siehe auch stetige Ergänzbarkeit von Funktionen).
  ─   mikn 21.03.2024 um 23:05

Noch ergänzend zu der Antwort von mikn, was macht man denn beim Ausklammern wie beispielsweise bei $a+b=a\cdot (1+\frac{b}{a})$? Man teilt jeden Summanden durch $a$. Beim Teilen von Termen mit Variablen muss man immer im Hinterkopf haben, dass man nicht durch Null teilen darf und somit muss man für die Variable an dieser Stelle der Termumformung den Wert ausschließen, damit dieser Fall ausgeschlossen ist. Nur nochmal zu dem WARUM der DB sich hier ändern muss. Das Grenzwertverhalten wird dadurch wie beschrieben nicht beeinflusst .   ─   maqu 22.03.2024 um 00:59

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