Korrekte Formulierung in Mengenlehre

Erste Frage Aufrufe: 104     Aktiv: 02.04.2021 um 11:22

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Hallo Experten,

ich benötige Hilfe bei der korrekten Formulierung eines Vorgangs in der Notationsweise von Mengen.

1. Es soll die Definition eines 2-Tupels A geben, das die Werte s und t enthält. Also A=(s,t).
2. Dann soll es eine Menge B aus mehreren dieser Tupel A geben.
3. Dann soll es eine Menge C geben, die die Tupel aus der Menge B enthält, für die t des Tupels A größer/gleich eines Vergleichswerts v ist.
4. Aus der Menge C soll jetzt das s geliefert werden, dass am häufigsten auftritt. Gibt es mehrere gleichhäufige s, soll das größte davon geliefert werden.

Verbal formuliert: Es gibt mehrere Datensätze (s,t). Davon werden nur diejenigen betrachtet, deren t>=v ist. Mit den verbliebenen Datensätzen wird dann über s ein Mehrheitsentscheid durchgeführt und davon das s geliefert. Ist der nicht eindeutig, weil es mehrere unterschiedliche s gibt, die jeweils gleichhäufig auftreten, wird daraus das größte s gewählt. Die Anzahl, wie oft das größte s auftritt, ist nicht von Bedeutung.

Wie drückt man das korrekt aus?

Vielen Dank im Voraus!

Markus

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1 Antwort
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Ich würde es so schreiben: \begin{align*}C&:=\{(s,t)\in B: t\ge v\}\\f(s)&:=|\{t:(s,t)\in C\}|\\ s_0&:=\max\{s:f(s)=\max f\}.\end{align*} Hier soll der Betrag einer Menge ihre Mächtigkeit bedeuten.

Hilft das?
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Hallo slanack,

erstmal vielen Dank.
Zu Zeile 1: Kann ich das "Element von B" da auch rausnehmen? B ist ja dann eigentlich nicht mehr relevant. B war ja auch nur eine Hilfsmenge, die sonst nicht weiter verwendet wird.
Zu Zeile 2: Ich nehme an, dass das "s:" heißen muss? Sehe ich das richtig, dass da Mengen gebildet werden, die jeweils dasselbe s haben und dann über f(s) die Menge der Elemente geliefert wird?
Zu Zeile 3: Das verstehe ich nicht. Was bedeutet "f(s)=max f"?
  ─   markus9 26.03.2021 um 11:00

Am besten ist eigentlich immer, von Grundmengen auszugehen. Ich würde also eher mehr als weniger hinschreiben. Meine Darstellung ist schon verkürzt. Das \(B\) würde ich auf jeden Fall beibehalten und in den nächsten beiden Zeilen auch die Grundmengen für \(s\) und \(t\) in den Definitionen mit dazuschreiben.

Zu Zeile 2: Nein, es muss \(t:\) heißen. Es würde auch keinen Sinn ergeben, \(s:\) zu schreiben, denn \(s\) ist ja außerhalb der Menge schon festgelegt; ich kann es innerhalb der Mengendefinition nicht mehr wählen. Zu jedem \(s\) gibt \(f(s)\) die Anzahl der Tupel an, die \(s\) an erster Stelle haben. Dies stimmt mit der Häufigkeit von \(s\) überein, so wie gewünscht.

\(\max f\) ist der Maximalwert, den \(f\) annimt, also die maximale Häufigkeit von Tupeln zu einer ersten Stelle \(s\). Und \(s_0\) wählt das größte \(s\) aus, an dem der Maximalwert angenommen wird. Alles unter der Voraussetzung, dass die Maxima existieren. Z.B. könnte man voraussetzen, dass \(B\) endlich ist.
  ─   slanack 26.03.2021 um 13:44

Hallo slanack,

das Prinzip Deiner Lösung habe ich jetzt soweit verstanden, dafür vielen Dank. Nun habe ich aber für meine Ausformulierung ein weiteres Problem:
Es soll so sein, dass es n Teilnehmer gibt, die jeweils diesen Mehrheitsentscheid durchführen. Ich betrachte das Ganze jetzt aus Sicht eines Teilnehmers j. Der Teilnehmer sammelt alle Tupel der übrigen und sein eigenes Tupel ein. Und jetzt soll er nur diejenigen Verwenden, deren t >= des eigenen t ist. Das hatte ich zunächst als Vergleichswert v bezeichnet. Tatsächlich ist es aber das t des eigenen Tupels. Nun kann ich ja schlecht t>=t schreiben. Wie kann ich denn jetzt sowas vernünftig indizieren. Wenn ich die Teilnehmer mit 0 <= i < n-1 indiziere, dann müsste da in Zeile 1 "ti>=tj" stehen. Was passiert dann mit dem Tupel (s,t)? Außerdem ist das s0 in der 3. Zeile auch das eigene sj, dem dann das Ergebnis des Mehrheitsentscheids zugewiesen wird. Wie kann ich die drei Zeilen korrekt notieren?

Gibt es eigentlich eine empfehlenswerte Literatur für Mengenlehre?
In welchem Format werden eigentlich hier im Forum die Formeln eingegeben?
  ─   markus9 27.03.2021 um 19:47

Jetzt bitte ich Dich, mal den Originaltext der Aufgabe hochzuladen. Mit deiner Formulierung kann ich die Aufgabe nicht verstehen.

Als Buch über Mengenlehre habe ich schon öfter "Naive Mengenlehre" von Halmos benutzt. Das ist gut zugänglich.
  ─   slanack 28.03.2021 um 16:03

Formeln kann man im LaTeX-Format eingeben, siehe http://docs.mathjax.org/en/latest/input/tex/index.html   ─   slanack 28.03.2021 um 16:06

Hallo slanack,

es gibt keine Aufgabenstellung, die ich hochladen könnte. Es handelt sich um eine eigene Entwicklungsarbeit, die ich dokumentieren möchte. Ich formuliere es nochmal neu:

Es gibt n Teilnehmer. Jeder Teilnehmer hat ein eigenes (s,t).
Alle Teilnehmer tauschen untereinander ihre Tupel aus.
Dann erfolgt ein Mehrheitsentscheid über alle s. Den Mehrheitsentscheid führen alle Teilnehmer autark aus. Dabei berücksichtig aber ein Teilnehmer j (der gerade den Entscheid ausführt) nur dann ein Tupel eines anderen Teilnehmerns i, wenn dessen ti >= dem eigenen tj ist. Also alle Tupel, deren t kleiner des eigenen t ist, werden nicht berücksichtigt.
Die Formeln sollen nun angeben, was ein Teilnehmer j aus allen n Tupeln (s,t) berechnet (abhängig vom eigenen t).
Da t in jedem Teilnehmer einen unterschiedlichen Wert haben kann, berechnet jeder Teilnehmer natürlich ggf. ein anderes Mehrheitsergebnis. Nur wenn alle t identisch sind, kommen alle zu demselben Ergebnis.

Entschuldigung für das Durcheinander. Ich hatte versucht, Deine Formeln zu übernehmen, und bin dann aber erst mit der Indizierung der Teilnehmer gescheitert.
  ─   markus9 29.03.2021 um 13:32

Wenn ich es richtig verstehe, dann muss man die Größen einfach Indizieren: Für \(i=1,2,\dots,n\) bildet man \begin{align*}C_i&:=\{(s,t)\in B: t\ge t_i\}\\f_i(s)&:=|\{t:(s,t)\in C_i\}|\\ s_i&:=\max\{s:f_i(s)=\max f_i\}.\end{align*} Der Wert \(s_i\) ist dann der vom \(i\)-ten Spieler ermittelte.

Übrigens bin ich bei meiner ersten Erklärung davon ausgegangen, dass die Tupel \((s,t)\) paarweise verschieden sind, weil Du von der Menge der Tupel \(B\) gesprochen hast und weil eine Menge keine Wiederholungen erlaubt. Jetzt stellt sich die Situation etwas anders dar und es hängt von den Regeln ab, ob verschiedene Personen dasselbe Tupel haben könnten. Dann wäre die Lösung eine andere.
  ─   slanack 29.03.2021 um 22:12

Hallo slanack,

das hatte ich gar nicht auf dem Radarschirm. Ja, die Tupel (s,t) können unter den Teilnehmern beliebig auftreten. Das war mit nicht klar, dass ich dann nicht von einer Menge reden darf. Was ist das denn dann, wenn ich unterschiedliche und auch gleiche Tupel in einen "Topf" werfe?
  ─   markus9 31.03.2021 um 11:29

Dann würde ich es so aufschreiben: Man hat die Menge der Tupel \(\{(s_i,t_i)\}_{i=1}^n\) und bildet für \(i=1,2,\dots,n\): \begin{align*}C_i&:=\{j: t_j\ge t_i\}\\f_i(j)&:=|\{k\in C_i: s_k=s_j\}|\in\mathbb{N}&&\text{für }j\in C_i\\s_i&:=\max\Bigl\{ s_j: f_i(j)=\max_{C_i}f_i\Bigr\}.\end{align*}   ─   slanack 31.03.2021 um 12:58

Hallo slanack,

ich habe die Konstruktion verstanden. Das sollte mir erstmal weiterhelfen. Insgesamt hat mir die Diskussion auch geholfen, die Denkweise hinter diesen Notationen besser zu verstehen. Vielen Dank dafür. Ich denke, ich komme jetzt erstmal weiter.

Markus
  ─   markus9 02.04.2021 um 11:22

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