Sorry, habe den Ausdruck "Primzahlfakultät" nicht gekannt.

Also, hier finde ich folgende Formel: \( \displaystyle \frac{\ln(x_\mbox{#})}{x} < 1 + \frac{\log_2(x)}{\sqrt{8\pi x}}\) .

Dabei ist \(x_{\mbox{#}} \) die Primzahlfakultät.

Das kann man umformen zu   \( \displaystyle  \ln(x_\mbox{#}) < x + \sqrt{x} \cdot \frac{\log_2(x)}{\sqrt{8\pi}} \).

Nun muss man ein b finden, so dass \(x_\mbox{#} < b^x\), also \(\ln(x_\mbox{#}) < x\ln(b)\).
Hierfür ist es hinreichend, wenn \(\displaystyle  x + \sqrt{x} \cdot \frac{\log_2(x)}{\sqrt{8\pi}} < x \ln(b) \) oder
\(\displaystyle 1 + \frac{1}{\sqrt{x}} \frac{\log_2(x)}{\sqrt{8\pi}} < \ln(b) \)
Man muss jetzt das Maximum der rechten Seite - nennen wir es f(x) -  berechnen. Dabei kommt allerdings ein Wert >3 heraus.
Deswegen kann man das Maximum von f für \(x\ge 1000\) berechnen. Das sollte gleich f(1000)=2,89... sein, da f(x) für \(x\ge 1000\) monoton fällt.
Ferner muss man dann für \(x<1000\) das Maximum von \(\ln(x_\mbox{#})/x\) einzeln berechnen. Hier hilft ein Computer. Ich habe hier 0,969819... raus.

Dann sollte man für b eine kleinere Zahl bekommen: 2,89...