Was sind die Nullstellen von f(x)= x^2*e^-2x-x*e^-2x-2e^-2x

Erste Frage Aufrufe: 66     Aktiv: 18.04.2021 um 01:16

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Kurvendiskussion exponentioalfunktion
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Schüler, Punkte: 10

 

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klammere e^-2x aus und löse den Inhalt der Klammer mit der Mitternachtsformel
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Hallo 
Also so wie ich das verstanden habe lautet deine Funktion wie folgt
 \(f(x)=x^2\cdot e^{-2x}-x\cdot e^{-2x}-2e^{-2x}\)
Von dieser musst du nun die Nullstellen berechnen, das heisst du musst alle x finden so dass \(f(x)=0\) gilt. 
Na gut dann setzen wir doch einfach mal \(f(x)=0\) wir erhalten:
\(x^2\cdot e^{-2x}-x\cdot e^{-2x}-2e^{-2x}=0\) Nun bemerkst du dass du den Faktor \(e^{-2x}\) ausklammer kannst also machen wir das:

\(e^{-2x}(x^2-x-2)=0\) 
Überleg dir mal wann dieses Produkt genau 0 ist, wenn du das herausgefunden hast ist es nicht mehr schwierig die Gleichung zu lösen.

Wenns nicht klappt melde dich einfach nochmals.
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Student, Punkte: 899
 

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Bitte benutze bei deinen Ausdrücken Klammern, um den Interpretationsspielraum zu verringern...
Ich gehe mal davon aus, dass das hier gemeint war: \(f(x)= x^2e^{-2x}-xe^{-2x}-2e^{-2x}\)

\(e^{-2x}\) kannst du ausklammern, da dieser Term in jedem der Summanden vorkommt.
Das liefert: \(f(x)=e^{-2x}(x^2-x-2)\)

Die rechte Seite der Gleichung ist null, wenn einer der Faktoren null ist. Hier gibt es zwei Faktoren:
\(e^{-2x}\) und \((x^2-x-2)\), wobei \(e^{-2x}\) für alle \(x \in \mathbb{R}\) nicht null wird. Bleibt also nur mehr der zweite Term zur weiteren Analyse übrig.


Wann wird diese Gleichung erfüllt sein: \(x^2-x-2 = 0\) ? Da der Faktor von \(x^2\) gleich 1 ist, kann hier die p-q Formel angewandt werden.
Wobei sich ergibt: \(p = -1, q = -2\).

Einsetzen in: \(x_{1,2} = \frac{-p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}\)
Ergibt: \(x_{1} = -1, x_{2} = 2\)
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