Lokale Extremstellen

Aufrufe: 60     Aktiv: 08.03.2021 um 11:56

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Begründe:
a) eine ganzrationale Funktion vom Grad n hat höchstens n-1 Extremstellen.
b) Eine ganzrationale Funktion, deren Grad gerade ist, hat mindestens eine Extremstelle.

Quelle: Lambacher Schweizer Einführungsphase Niedersachsen Klett-Verlag
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gefragt

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ich habe den Eindruck, hier lässt sich jemand - eine Aufgabe nach der anderen - seine Hausaufgaben lösen.   ─   monimust 08.03.2021 um 11:56

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2 Antworten
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Die Aussage (b) folgt sofort aus (a). Du musst also nur noch Aussage (a) zeigen: Sei \(P_{n+1}(x)=a_{n+1}x^{n+1}+a_nx^n+\ldots +a_0\) mit \(a_{n+1}\not =0\), dann folgt \(P_{n+1}'(x)=a_{n+1}(n+1)x^n+a_nnx^{n-1}+\ldots +a_1\). Nach dem Fundamentalsatz der Algebra hat ein Polynom \(n\)-ten Gerades \(n\) Nullstellen,  somit hat \(P_{n+1}\) höchstens \(n\)-Extrema
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Student, Punkte: 2.58K
 

Ich verstehe deine Antwort nur so halb. Wofür steht groß P?   ─   aundispielen 08.03.2021 um 10:16

\(P\) ist die Funktion, nun aber zum Verständnis: Leitest du eine Funktion vom Grad \(n\) ab, so hat die Ableitung nur noch den Grad \(n-1\). Eine derartige Funktion hat nun nach Fundamentalsatz der Algebra \(n-1\) Nullstellen, also gibt es für die Funktion auch nur \(n-1\) mögliche Extrema   ─   mathejean 08.03.2021 um 10:18

Danke. Jetzt super verstanden.   ─   aundispielen 08.03.2021 um 10:27

Kein Problem :D   ─   mathejean 08.03.2021 um 10:27

Bezüglich b habe ich jedoch noch nicht ganz verstanden. Was ist denn die Nullstelle(n) von f(x)=x^-2?   ─   aundispielen 08.03.2021 um 10:29

Hat keine :D   ─   mathejean 08.03.2021 um 10:29

Die Frage ist nämlich, ob eine Polynom Funktion mit geradem Grad mindestens eine Extremstelle besitzt. -2 ist doch gerade, oder nicht?   ─   aundispielen 08.03.2021 um 10:31

Und ist auch keine ganzrationale Funktion, denn hier muss der Gerad des Zählerpolynoms größer als der Grad des Nenner Polynom sein :D   ─   mathejean 08.03.2021 um 10:32

Wie begründe ich dann diese Aussage?   ─   aundispielen 08.03.2021 um 10:33

Oder wie habt ihr ganzrationale Funktionen definiert?   ─   mathejean 08.03.2021 um 10:33

Als Summen- bzw. Differenzenfunktion   ─   aundispielen 08.03.2021 um 10:34

Wenn der Grad einer Funktion gerade ist, muss der Grad auch größer gleich 2 sein, und somit hat diese Funktion nach (a) mindestens ein Extremun   ─   mathejean 08.03.2021 um 10:34

Ok.   ─   aundispielen 08.03.2021 um 10:35

Danke dir.   ─   aundispielen 08.03.2021 um 10:35

Nein mit (a) kannst du hier glaube ich nicht direkt argumentieren, da in (a) ja von höchstens gesprochen wird. Es wäre also auch möglich, dass eine Funktion weniger Extrema hat (was ja in der Realität auch der Fall ist).   ─   el_stefano 08.03.2021 um 10:37

Wie denn dann?   ─   aundispielen 08.03.2021 um 10:39

Wahrscheinlich ist der Trick, dass die Ableitung einer ganzrationalen Funktion mit geradem Exponenten ungerade ist. Dann kann man sich Gedanken machen, warum eine solche ungerade Funktion eine Nullstelle hat, die ja dann zu einer Extremalstelle gehören würde.   ─   el_stefano 08.03.2021 um 10:44

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Hey,

(a) Überlege dir mal, was beim Ableiten einer ganzrationalen Funktion vom Grad n passiert.

(b) Was sind ganzrationale Funktionen mit geradem Exponenten? Was passiert dort beim Ableiten? Wie ermittelst du die lokalen Extrema einer solchen Funktion?

VG
Stefan

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M.Sc., Punkte: 6.43K
 

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a) Bei jedem ableiten wird -1 abgezogen und der Exponent multipliziert.   ─   aundispielen 08.03.2021 um 10:14

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