Zeige, dass f' eine Nullstelle in einem Intervall hat

Erste Frage Aufrufe: 148     Aktiv: 23.02.2024 um 15:00

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Ich habe ein Problem mit dieser Aufgabe:

Meine Idee: Man sollte hier den Zwischenwertsatz anwenden und da das intervall positiv ist, muss man sich f' für x>0 anschauen. Nur wie zeige ich, dass ein Vorzeichenwechsel stattfindet?

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Beweisskizze:
Da das Intervall \(I=[10^{100},10^{100}+2\pi]\) eine komplette Periode des cos abdeckt, nimmt der cos in \(I\) alle Werte an, die der cos auf den reellen Zahlen annimmt.
Also muss es  \(x_1,x_2\in I\) geben, so dass \(\cos(x_1)=1, \;\cos(x_2)=-1\).
Da \(x_1,x_2\) riesig ist, kann man zeigen, dass \(f'(x_1)>0\) und \(f'(x_2)<0\).

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Danke für die schnelle antwort. Also könnte ich z.B. behaupten, dass ja wegen der Periodizität vom cosinus, alle werte von 1 bis -1 angenommen werden innerhalb $[10^{100}, 10^{100 }+ 2\pi]$. Dabei wählen wir ein $x_1$ und $x_2$ sodass $cos(x_1) = 1$ und $cos(x_2) = -1$ ist. Wegen des Winkelfunktionensatz gilt dementsprechend $sin(x_1)>0$ und und $sin(x_2) < 0$.

Fall $x_1$:
$f'(x_1) = \frac {sin(x_1)}{2\sqrt{sin(x_1)}} + \sqrt{x_1} * cos(x_1)$
Durch das einsetzen von $cos(x_1)=1$ und $sin(x_1)>0$ wird $f'(x_1)$ aufjedenfall $f'(x_1) > 0$



Fall $x_2$:
$f'(x_2) = \frac {sin(x_2)}{2\sqrt{sin(x_2)}} + \sqrt{x_2} * cos(x_2)$
Durch das einsetzen von $cos(x_2)=-1$ und $sin(x_2)<0 $gilt:
$f'(x_2) = \frac {sin(x_2)}{2\sqrt{sin(x_2)}} + \sqrt{(x_2)} * cos(x_2) < 0$


Da wir gezeigt haben, dass es ein Vorzeichenwechsel innerhalb $f'(x_1)>0$ und $f'(x_2)<0$ gibt und $x_1$ bzw. $x_2$ in $[10^{100}, 10^{100} + 2\pi]$ liegen, muss es nach dem Zwischenwertsatz eine nullstelle innerhalb dem Intervall $[10^{100}, 10^{100} + 2\pi]$ geben .

Ist die Formulierung korrekt so und reicht sie aus?
  ─   misterakule8 21.02.2024 um 20:54

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Nee, nicht ganz.
Du kannst Dir an einer Stelle das Leben noch ein bisschen einfacher machen als von mir geschlildert:
Wenn \(\cos(x_1)=1\), dann ist \(\sin(x_1)=0\). Das ist so, weil \(\sin^2(x)+\cos^2(x)=0\) für alle x.
Wenn \(\cos(x_2)=-1\), dann ist \(\sin(x_2)=0\). Aus dem gleichen Grund.
Der Summand mit dem sin wird also nicht nur unbeschreiblich klein, er fällt komplett weg.

Du musst allerdings schon beweisen, dass wegen der Periodizität die Werte -1 und1 angenommen werden. Einfach so behaupten kannst Du das - glaube ich - nicht.
Das geht für den Wert 1 so: Es ist \(\cos(\pi/2)=1\). Dann ist wegen der Periodizität vom Kosinung: \(\cos(\pi/2+2\pi k)=1\) für alle \(k\in\mathbb{Z}\).
Sei nun K die Menge aller ganzen Zahlen, für die gilt: \(\pi/2+2\pi k \gt 10^{100}\). K ist nicht leer wegen dem archimedischen Axiom.
Man kann leicht sehen, dass K eine untere Schranke hat (z.B. 0).
K hat also ein Infimum. Das nenne ich l. Man kann leicht sehen, dass \(l\in K\) .
Setze nun \(x_1= \pi/2+2\pi l \).
Dann hat man \(x_1 = \pi/2+2\pi l \gt 10^{100}\). Da l die kleinste Zahl mit dieser Eigenschaft ist, gilt:
\(\pi/2+2\pi (l-1) < 10^{100}\Rightarrow \pi/2+2\pi l < 10^{100}+2\pi\).
Also ist \(x_1\in [10^{100}, 10^{100}+2\pi]\), und es ist \(\cos(x_1)=1\).
  ─   m.simon.539 22.02.2024 um 21:28

Achso, alles klar. Für $x_2$, würde das doch wie folgt aussehen.
Es ist $cos(\pi) = -1$. Wegen der Periodizität gilt $cos(\pi +2\pi k)$. K ist nun die Menge aller Zahlen für die gilt: $\pi + 2\pi k> 10^{100}$. K hat wie im fall $x_1$ auch ein Infimum, was hier ebenfalls $l$ genannt wird.
So ist $x_2 = \pi +2 \pi l $, dass setzt man jetzt ein. Dadurch hat man
$x_2 = \pi + 2 \pi l > 10^{100} $ wodurch $\pi + 2\pi(l-1) < 10^{100}$ gilt.
====> $ \pi +2\pi l < 10^{100} + 2\pi$

Also ist $x_2 \in [10^{100}, 10^{100} + 2\pi]$ und $cos(x_2) =- 1$
Dann könnte man doch behaupten, dass $f'(x_1) > 0$ wird und $f'(x_2) < 0$ und es nach dem Zwischenwertsatz eine Nullstelle innerhalb des Intervalls geben muss.
Ist die Formulierung korrekt? Die Frage ist jetzt vielleicht dumm aber wie sehe ich, dass K eine untere schranke hat?
  ─   misterakule8 23.02.2024 um 09:25

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