Wie beweise ich folgende Summenformel?

Aufrufe: 45     Aktiv: 23.03.2021 um 12:51

0
$$\frac{x^{2n+1}-(\frac{1}{x})^{2n+1}}{x-\frac{1}{x}}=\sum \limits_{k=-n}^{\ n}x^{2k}$$

Ich habe mir gedacht, dass man das mit vollständiger Induktion beweist und habe dann den Induktionsanfang und die annahme aufgeschrieben. Hier wäre mein Induktionsschluss:

(Indexverschiebung:$$ \frac{x^{2n+1}-(\frac{1}{x})^{2n+1}}{x-\frac{1}{x}}=\sum \limits_{k=-n}^{\ n}x^{2k}=
\sum \limits_{k=0}^{\ 2n}x^{2(k-n)}$$)


$$\sum \limits_{k=0}^{\ 2(n+1)}x^{2(k-n)}=\sum \limits_{k=0}^{\ 2n+2}x^{2(k-n)}=$$
$$\sum \limits_{k=0}^{\ 2n}x^{2(k-n)}+x^{2\cdot \left(2n+1-n\right)}+x^{2\cdot \left(2n+2-n\right)}=$$
$$\frac{x^{2\cdot \:n+1}-\left(\frac{1}{x}\right)^{2\cdot \:n+1}}{\left(x-\frac{1}{x}\right)}+x^{2\cdot \left(2n+1\right)-n}+x^{2\cdot \left(2n+2\right)-n}$$

Heraus kommt da

$$=\frac{x\left(x^{2n+1}-\left(\frac{1}{x}\right)^{2n+1}\right)}{x^2-1}+x^{2\left(n+1\right)}+x^{2\left(n+2\right)}$$

was aber ungleich demhier ist:
$$\frac{x^{2\cdot \left(n+1\right)+1}-\left(\frac{1}{x}\right)^{2\cdot \left(n+1\right)+1}}{\left(x-\frac{1}{x}\right)}$$
und dementsprechend falsch.
Sieht jemand den Fehler? Bin ich vom Vorgehen her richig gewesen?
gefragt

Punkte: 16

 

Kennst du vielleicht die geometrische Summenformel, mit dieser lässt sich diese Aufgabe viel einfacher lösen.   ─   mathejean 23.03.2021 um 12:38

Kommentar schreiben

2 Antworten
1
Ich schlage Dir vor, beide Seiten mit \(x^{2n}\) zu multiplizieren und dann die bekannte Summenformel für die geometrische Reihe anzuwenden. Deine Rechnung habe ich nicht geprüft.

Hilft das?
Diese Antwort melden
geantwortet

Lehrer/Professor, Punkte: 3.79K
 

Kommentar schreiben

0
Der Fehler ist nach "Heraus kommt da". Du hast die Ausrücke \( x^{2(2n+1)-n} \) und \( x^{2(2n+2)-n} \) falsch umgeformt. Es ist \( x^{2(2n+1)-n} = x^{3n+2}\) und \( x^{2(2n+2)-n} = x^{3n+4} \). Das lässt sich nicht als \( x^{2(n+1)} \) und \( x^{2(n+2)} \) schreiben.
Diese Antwort melden
geantwortet

Student, Punkte: 5.54K
 

Kommentar schreiben