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Erste Frage Aufrufe: 73     Aktiv: 14.01.2023 um 17:31

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Hallo, ich habe folgende Aufgabe:


Die Aufgabe bereitet mir ein paar Probleme. Erstmal zur a):

Die $X_i$ sind nach Aufgabenstellung kontinuierliche Zufallsvariablen. Die einzigen Verteilungen die in diesem Kontext irgendeinen Sinn ergeben würden, wären die Normalverteilung und die Gleichverteilung/uniforme Verteilung. Da ich in einem späteren Aufgabenteil mit der Normalverteilung approximieren soll, würde ich mich hier einfach auf die Gleichverteilung festlegen. Die Frage ist jetzt, $X_i$ ist gleichverteilt zu welchen Parametern?

Die allgemeine Formel für Erwartungswert und Varianz von der Gleichverteilung sind bekannt, ich weiß halt nicht wirklich welche Grenzen ich einsetzen soll. Mir fehlt irgendwie eine Information darüber, wie viel Fettgehalt denn im Durschnitt in der Milch sind. Oder irgend eine andere Auskunft. Ich meine, ein Ergebnis sollte ja ein Erwartungswert von irgendwas zwischen 1% und 4% (jetzt nur mal von realistischen Werten ausgegangen) sein. Ich habe aber absolut keine Idee, wie ich mit den geg. Infos auch nur in die Richtung von diesem Wert kommen könnte.

Habe ich ggf. eine entscheidene Information überlesen?

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Ich denke du musst dir nicht den Kopf darueber zerbrechen, wie die \(X_i\) genau verteilt sind. Du sollst die Groessen alle nur symbolisch ausrechnen und nicht mit konkreten Werten.

a) Wenn man den Fettanteil in %, d.h. als Zahl zwischen 0 und 1 beschreibt, dann waere die Zufallsvariable wohl irgendwie auf [0,1] verteilt. Wie genau ist nicht entscheidend. Du musst dir nur ueberlegen, wie der funktionale Zusammenhang der einzelnen Fettanteile zum Fettanteil des Gemisches ist (bedenke, alles fliesst zu gleichen Teilen in das Gemisch ein). 
Wenn du diesen Zusammenhang \(X=f(X_1,...,X_n)\) kennst und damit a) beantwortet hast, kannst du b) versuchen.
b) Berechne \(E[X]=E[f(X_1,...,X_n)]\) und \(V[X]=V[f(X_1,...,X_n)]\) indem du benutzt, dass \(E[X_i]=\mu\) und \(V[X_i]=\sigma^2\). Tipp: Du wirst typische Rechenregeln von Erwartungswert und Varianz benoetigen. Sei erinnert, dass deine \(X_i\) unabhaengig sind und somit unkorreliert sind. Das erlaubt Dir beim Rechnen der Varianz eine ganz bestimmte Vereinfachung, die du sicher schon mal gesehen hast. Dein Ergebnis ist dann ein Term der die Parameter \(\mu\) und \(\sigma^2\).

Fuer die letzte Frage denke einfach an den wichtigsten Satz, den du vermutlich in deiner Vorlesungen kennengelernt hast (https://de.wikipedia.org/wiki/Zentraler_Grenzwertsatz). Schaue wie du den anwenden kannst. (Das gibt dir vielleicht auch Inspiration fuer a) ). Insbesondere stellt er keine Anforderungen, die Verteilung der \(X_i\) genau zu kennen.

Du siehst also, dass du die ganze Aufgabe loesen kannst, ohne die genaue Gestalt der Verteilung oder gar ihre Parameter zu kennen.
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a) Der Fettanteil der gemischten Milch wird durch die Zufallsvariable \( X = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i} \) beschrieben.

b) Da die \( X_{i} \) unabhängig und identisch verteilt sind, gilt für den Erwartungswert von X:
$$ E(X) = E(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} E(X_{i}) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \mu = \mu $$

Für die Varianz von X gilt:
$$ Var(X) = Var\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}\right) = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^{n} Var(X_{i}) = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^{n} \sigma^2 = \frac{\sigma^2}{n} $$

Für große n lässt sich jede Verteilung durch die Normalverteilung approximieren. Der zentrale Grenzwertsatz ist bei uns definiert durch:

Es seien \( X_{j} \in L^{2}((\Omega, \mathcal{A}, P) ; \mathbb{R}), j \in \mathbb{N} \), i.i.d. Zufallsvariablen. Dann gilt mit \( \mu=\mathbb{E}\left[X_{1}\right] \) und \( \sigma^{2}=\operatorname{Var}\left[X_{1}\right] \)
\(\sqrt{n}\left(\bar{X}_{n}-\mu\right)=\frac{1}{\sqrt{n}} \sum \limits_{j=1}^{n}\left(X_{j}-\mu\right) \stackrel{n \rightarrow \infty}{\longrightarrow} X \sim N\left(0, \sigma^{2}\right) \quad \text { schwach nach Verteilung . }\)

Ich schreibe jetzt oben, für großen n ist das halt so. Kann ich meine gegeben Sachen irgendwie in die Def. vom Grenzwertsatz "einsetzen", sodass ich die Konvergenz zur Normalverteilung tatsächlich sehe?
  ─   moivreladingsda 14.01.2023 um 14:40

Kleiner Hinweis: Fuer die Rechenregel beim Erwartungswert brauchst du nicht die unabhaengigkeit, sondern nur fuer die Varianz. Ist es aber natuerlich nicht falsch wie du es geschrieben hast.

Zu unten: Naja du willst ja den Satz nur benutzen. Die Kovergenz würdest du sehen, wenn du mit diesen ZVs den Beweis durchgehen würdest.

  ─   distel 14.01.2023 um 17:31

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