Ungleichung lösen: 11xy kleiner gleich x^3 - y^3 kleiner gleich 12xy

Erste Frage Aufrufe: 280     Aktiv: 31.03.2023 um 18:41

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Hey,
ich will die Ungleichung oben lösen. Bisher habe ich eine Lösung, nämlich x=5 und y=2. Vielleicht kann mir jemand helfen, die Ungleichung so umzustellen, dass man alle Lösungen ablesen kann..
Auf jeden Fall schonmal danke!
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Schüler, Punkte: 18

 

In welchem Zusammenhang taucht die Ungleichung auf? Interessieren nur ganzzahlige Lösungen? Wie hast Du diese eine gefunden? Und und und. Bitte vollständige Info.   ─   mikn 31.03.2023 um 17:15

Die Ungleichung ist als Übung für Wettbewerbe gedacht, dabei sollen nur positive und ganzzahlige Lösungen betrachtet werden. Meine eine Lösung habe ich durch Aufschreiben der ersten 10 Kubikzahlen herausgefunden. Weitere Ansätze waren, dass 11 kleiner gleich x^2:y - y^2:x kleiner gleich 12. Faktorisieren mit (x-y)(x^2+xy+y^2) hat nicht weitergeholfen. Ich weiß zumindest, dass x>y, da sonst x^3-y^3 negativ wäre, 11xy aber positiv.. Wäre an Beweis für die Aufgabe interessiert (;   ─   fibonacc i 31.03.2023 um 17:33

Aufgaben im Rahmen oder Vorfeld von Wettbewerben machen wir auch nicht aus dem Ärmel. "Beweis": Dazu muss man erstmal wissen, was man beweisen will. Hast Du noch nicht gesagt. Oder wie die Aufgabe überhaupt lautet.   ─   mikn 31.03.2023 um 17:35

Man soll alle Lösungen für x,y finden und zeigen, dass es exakt diese gibt und keine sonst.   ─   fibonacc i 31.03.2023 um 17:37

Aha, warum nicht gleich. Wie lautet der Originaltext? Es kann hier auf jedes Detail ankommen. Es ist immer mühselig für uns, wenn die Aufgabe nicht mitgeliefert wird.   ─   mikn 31.03.2023 um 17:40

Aufgabe: Finde alle Paare (x,y) positiver ganzer Zahlen, für die gilt: 11xy≤x^3 −y^3 ≤12xy.   ─   fibonacc i 31.03.2023 um 17:42

ok...   ─   mikn 31.03.2023 um 17:54
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Moin,
man sucht also $x,y\in \mathbb{N}$, s.d. $$11xy\le x^3-y^3\le12xy$$Man erkennt sofort, dass $x>y$ gelten muss. Es folgt dass $x=y+a$ mit $a\in \mathbb{N}$. Wenn man jetzt ausmultipliziert erhält man$$11y^2+11ya\le3ay^2+3ya^2+a^3\le12y^2+12ya$$Jetzt sucht man sich z.B. eine Ungleichung raus (hier beispielweise die Rechte):$$12y^2+12ya\ge3ay^2+3ya^2+a^3>3ay^2+3ya^2$$Die ganz rechte Ungleichung kann man für $a\ge4$ schreiben als:$$>12y^2+12ya$$Also ist $$12y^2+12ya>12y^2+12ya$$ein Widerspruch. Demnach ist $a\in\{1,2,3\}$. Das lässt 3 Fälle übrig, in denen du nach Lösungen suchen musst.
LG
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