Beweiß mittels vollständiger Induktion. Hilfe bitte.

Erste Frage Aufrufe: 522     Aktiv: 10.10.2022 um 13:04

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Ich komm leider nicht weiter voran, bzw. weiß nicht ob mein Ansatz überhaupt stimmt. Hoffe, dass mir jemand weiterhelfen kann, bzw. mir es sogar beantworten und kurz erklären könnte. Danke bsp folgt:

EDIT vom 09.10.2022 um 20:17:

Hätte jetzt den Lösungsweg würde dieser stimmen?

EDIT vom 09.10.2022 um 20:55:

Also wäre das jetzt der richtige Ansatz?

EDIT vom 09.10.2022 um 22:08:

Ich glaube jetzt ist es wirklich richtig. Danka an meine 2 Helfer ihr wart eine Große Hilfe und auch für das aufgebrachte durchhaltungsvermögen.

EDIT vom 10.10.2022 um 01:25:

.

EDIT vom 10.10.2022 um 11:09:

Um genau zu sein befinde ich mich hier

EDIT vom 10.10.2022 um 12:12:

Wenn es jetzt nicht stimmt weis ich auch nicht. ich habe bei beiden Termen herausgehoben. Da dann ja das selbe steht betrachte ich nur das Innere. und da würde mir 3=3 rauskommen.

EDIT vom 10.10.2022 um 12:32:

Ich kann es auch so anschreiben
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Herzlich Willkommen auf mathefragen.de!

Ich würde die Induktionsvoraussetzung für $L_n$ und $L_{n+1}$ formulieren und dann im Induktionsschritt die Rekursion verwenden. Also:
\[L_{n+2}=L_{n+1}+L_n\overset{IV}{=} \ldots \] 
und dann die Terme zusammenfassen und in die Form bringen wo du hinwillst.

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Schreibe noch einmal ordentlich alles auf inkl. IV und IB! Im Induktionsschritt (IS) setzt du dann beide Gleichungeb aus deiner Induktionsvoraussetzung ein. Nicht die Gleichung für $L_{n+2}$ einsetzen, das willst du ja gerade im Schritt zeigen!   ─   maqu 09.10.2022 um 20:14

Den letzten Satz aus meinem letzten Kommentar nochmal genau lesen. Bei deiner IV fehlt noch das du annimmst das es ein $n$ gibt für das die Voraussetzung gilt. In der Behauptung schreibst du die eigentliche Aussage die du zeigen sollst nochmal auf, also das die Gleichung $\ldots$ für alle $n$ gelten soll unter der Annahme das die Rekursion erfüllt ist. Dann kommt im IS der eigentlich zu beweisende Teil. Das erste was du aufschreibst ist das was in meiner anfänglichen Antwort steht. Dann setzt du beide IVs ein und fasst zusammen.   ─   maqu 09.10.2022 um 20:26

Du willst zeigen das $L_{n+2}=\ldots =\left( \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n+2}+\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n+2}$
Setze doch für $L_{n+1}$ und $L_n$ einfach deine IV ein.
  ─   maqu 09.10.2022 um 21:30

Ich versteh ehrlich gesagt auch nicht warum du meinen anfänglichen Hinweis konsequent ignorierst?🤷‍♂️
Dein Vorhaben beide Seiten gleichzeitig umzustellen ist Käse. Mit $L_{n+2}=\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n+2}+\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n+2}$ benutzt du auf der linken Seite ja im ersten Schritt genau das was du versuchen möchtest zu zeigen im Induktionsschritt. Dann kann man es noch nicht verwenden wenn du noch nicht weißt ob es gilt!
Ich mache jetzt mal die ersten beiden Schritte für dich, bitte missachte sie nicht. Die mit $\ldots$ ausgelassenen Schritte gilt es dann für dich zu erschließen um auf das gewünschte Ergebnis zu kommen:
\[L_{n+2}=L_{n+1}+L_n\overset{IV}{=} L_{n+1}+ \left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n+\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n \overset{IV}{=}\ldots =\ldots =\ldots =\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots= \left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n+2}+\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n+2}\]
Also nächster Schritt ist die IV für $L_{n+1}$ einzusetzen und dann deinen Term so zusammenfassen das du auf den letzten Term in der Gleichheit kommst.
  ─   maqu 09.10.2022 um 22:33

Für gewöhnlich hast du eine von $n$ abhängige Aussage die behauptet wird (die man beweisen möchte). Wenn man voraussetzt das diese Aussage für ein bestimmtes $n$ gilt und man dann im Induktionsschluss GENAU DIESE Aussage auch für den Nachfolger gilt (also die selbe Aussage nur mit $n+1$ statt $n$) dann greift das Induktionsaxiom der Peano-Axiome und man schlussfolgern das die Aussage für alle $n\in \mathbb{N}$ gilt. Hier ist es nur durch die Rekursionsformel so, dass man in der Induktionsvoraussetzung die Aussage für $n$ und $n+1$ als geltend annimmt. Nun möchte man die Aussage für den Nachnachfolger also $n+2$ zeigen.
Warum versuchst du eigentlich die ganze Zeit die zwei Seiten der Gleichung so lange umzuformen bis du eine wahre Aussage erhältst? Hat man dir das etwa so erklärt?
  ─   maqu 09.10.2022 um 23:09

Es gibt (nachdem du beide IVs eingesetzt hast) viele Wege auf den Term zu kommen. Der Weg dahin ist ja gerade die Übung wo man viel lernen kann! Wenn du nicht weiter weißt helfen wir dir gern. Aber bitte schreib es doch erst einmal bis dahin auf. Wir winken ja schon mit dem Zaunspfahl wie du es anfangen sollst.🤪

Prinzipiell ist beim beweisen mittels vollständiger Induktion auch manchmal hilfreich das Pferd von hinten aufzuzäumen. Wenn man in der einen Richtung nicht weiterkommt kann man von dort wo man hinkommen möchte überlegen wie man so umstellen kann bis man dahin aufgeschlossen hat wo man in der Hinrichtung stehen geblieben ist. Dies macht man aber am besten in einer separaten Nebenrechnung.
  ─   maqu 09.10.2022 um 23:23

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Entweder man kann rechnen oder man kann es nicht. Wenn man aber nicht einmal den Anfang des Induktionsschlusses richtig hinschreiben kann, kann man sich sämtliche Erklärungen sparen. Verstanden wird von der Rechnung dann ja erst recht nichts. Mal ganz davon abgesehen, dass man das Rechnen nicht durch das Anschauen von Lösungen lernt.

Und zum "wie es geht": Man könnte auch mal anfangen zu rechnen. Zumindest stimmt der Anfang der Rechnung mittlerweile. Es wird aber überhaupt nicht ersichtlich, dass OP irgendetwas versucht hat und das ist hier sehr häufig der Fall. Es wird gar nicht erst angefangen, sondern direkt eine Lösung gefordert, weil man ja nicht sofort sieht, was man machen muss. Warum probiert man nicht einfach mal etwas aus? Man könnte die Potenzen ja mal auflösen, irgendetwas ausklammern, irgendwas zusammenfassen. Es gibt so viel, was man probieren könnte, aber es wird einfach nicht gemacht. Da kann man dann noch so viel erklären, wie man möchte. Die Mathematik lebt nunmal davon, dass man Dinge ausprobiert. Das scheitert jedoch häufig daran, dass Rechenregeln nicht beherrscht werden und man dann lieber gar nichts macht und nach einer Lösung sucht, die man abschreiben kann, aber nur mit Mühe und Not verstanden hat, weil man sich einfach nicht selbst mal mit der Rechnung beschäftigt hats. Lerneffekt gleich 0. Außerdem wurde ja schon der Tipp gegeben, es dann evtl. mal von der anderen Seite zu versuchen, um zu sehen, wo man hin will.
  ─   cauchy 10.10.2022 um 07:33

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Muss hier cauchy zustimmen die Lösung zu durchblicken bietet die nicht den Mehrwert den du erfährst wenn du es selbst machst und damit verstanden hast!

Zum weiteren Vorgehen würde ich vorschlagen entweder jeweils den Term hoch $n$ auszuklammern. Der Rest muss ja (wenn man sich seinen Zielterm anschaut) dann der quadratische Faktor werden. Oder du erweiterst jeweils zur $n+2$-ten Potenz, klammerst diese dann aus und dann muss der Rest ja 1 werden.

Und nun Probier einfach mal👍
  ─   maqu 10.10.2022 um 08:40

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