Integration durch Substitution

Erste Frage Aufrufe: 44     Aktiv: 01.06.2021 um 23:28

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Hallo. Ich muss zwei Funktionen integrieren.
Ich habe Bilder hochgeladen mit den Funktionen und den bisherigen Rechnungen.
Ich komme nicht weiter und habe außerdem Probleme e-Kunktionen mit höheren Exponenten zu integrieren. LG
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Zur 1. Funktion:

Da hast du alles richtig gemacht und du brauchst auch Substitution, anders ist das meines Wissens nach nicht lösbar. Jetzt musst du ja nurnoch nach \(z\) integrieren und dann hast du die Stammfunktion, wo du dann für \(z\) wieder \(x\) einsetzt und weiter gehts.



Zur 2. Funktion:

Ich würde gerne wissen, aus was für einem Video du das hast, denn in dem Integral wird kein \(\ln\) vorkommen. Wenn du \(\frac{1}{\sqrt{z}}\) integrieren willst musst du lediglich mit einigen Potenzgesetzten herum hantieren:

\(\sqrt{x} = x^{0.5}\)
\(\frac{1}{x^n} = x^{-n}\)

Wenn du diese Gesetzte nutzt erhälst du:

\(\frac{1}{\sqrt{z}} = \frac{1}{z^{0.5}} = z^{-0.5}\)

Und das kannst du ja einfach nach den bekannten Regeln integrieren:

\(\int{ \frac{1}{\sqrt{z}} dz} = \int z^{-0.5} dz\)
\(F(z) = \frac{1}{-0.5+1}\cdot z^{-0.5+1} = \frac{1}{0.5} \cdot z^{0.5} = 2\sqrt{z}\)

Also nochmal vollständig mit dem \(\frac{1}{2}\cdot\) davor:

\(F(z) = \frac{1}{2}\cdot 2 \sqrt{z} = \sqrt{z}\)

Da musst du jetzt ja nur noch \(z=3x-2\) wieder resubstituieren und feritg.



Zusatz: \(\ln\) als Aufleitung:

Wenn dich interessiert, wann \(\ln\) beim integrieren auftaucht, kannst du jetzt weiterlesen, die Aufgabe ist jedoch vorbei.

Es gibt tatsächlich den Fall, dass \(ln\) in der Aufleitung auftaucht, und zwar als Aufleitung von \(\frac{1}{x}\). Vielleich ist dir schon mal aufgefallen, dass dein Lehrer gesagt hat, dass die Potenzregel beim integrieren nur dann gilt, wenn der Exponent ungleich -1 ist. Denn dann ist genau das der Fall. Wenn der Exponent -1 ist, haben wir den Fall von \(\frac{1}{x}\), wo wir die Potenzregel garnicht nutzten können (ergäbe 0 im Nenner).

Wenn es dich interessiert folgt nun eine kleine Erklärung, warum \(\ln\) in der Aufleitung von \(\frac{1}{x}\) enthalten ist.

Im Grunde wissen wir, dass wenn \(g\) die Aufleitung von \(f\) ist, dass \(f\) die Ableitung von \(g\) ist. Das bedeutet, es reicht zu zeigen, dass die Ableitung von \(\ln x\) mit \(\frac{1}{x}\) gleich zu setzen ist. Dafür nutzen wir die Definition der Ableitung:


\(f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{\ln{(x+h)} - \ln{x}}{h}\)

Nach den Logarithmusgesetzen gilt: \(\ln a - \ln b = \ln{(\frac{a}{b})}\), das nutzen wir:

\(f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{1}{h} \cdot \ln{(\frac{x+h}{x})}\)

\(f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{1}{h} \cdot \ln{(1+\frac{h}{x})}\)

Nun multiplizieren wir mit dem Term \(\frac{x}{x}\), das dürfen wir, weil es das selbe wie \(\cdot 1\) ist.

\(f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{x}{x} \cdot \frac{1}{h} \cdot \ln{(1+\frac{h}{x})}\)
 
\(f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{1}{x} \cdot \frac{x}{h} \cdot \ln{(1+\frac{h}{x})}\)

Im nächsten Schritt machen wir Gebrauch vom nächsten Logarithmusgesetzt; denn es gilt \(a \cdot \ln b = \ln{(b)}^a\). So kann 
\(\frac{x}{h}\) verschoben werden:
 
\(f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{1}{x} \cdot \ln{(1+\frac{h}{x})}^{\frac{x}{h}}\)

Das \(\frac{1}{x}\) darf nun einfach vor das Limit geschrieben werden, da es nicht von \(h\) abhängig ist.

\(f'(x) = \frac{1}{x} \cdot \lim_{h\to 0}\ln{(1+\frac{h}{x})}^{\frac{x}{h}}\)

Jetzt sind wir fast am Ende, es wird noch ein weiteres Gestezt gebrauch, da wir das Limit nun in den Logarithmus ziehen (er verändert nichts an der Definition):

\(f'(x) = \frac{1}{x} \cdot \ln ( \lim_{h\to 0} (1+\frac{h}{x})^{\frac{x}{h}})\)

Jetzt gibt es eine Definition von \(e\), vielleicht kennst du sie, wenn nicht, nicht schlimm, nimm sie einfach so hin xD:

\( e = \lim_{n\to 0} (1+\frac{1}{f(n)})^{f(n)})\

Diesen Fall haben wir, speziell mit \(n=h\) und \(f(n) = \frac{x}{h}\). Somit folgt nun zum Schluss:

\(f'(x) = \frac{1}{x} \cdot \ln (e) = \frac{1}{x}\)

Damit können wir sagen, dass die Stammfunktion von \(f(x) = \frac{1}{x}\) wie folgt lautet: \(F(x) = \ln x + c\). Nun setzt man das, was im Logarithmus steht noch in Klammern, da der Logarithmus sonst nicht durch die Schulmathematik definiert ist und erhält die endgültige Definition:

\(\int \frac{1}{x} dx = \ln \vert x \vert + c\)




Ich hoffe ich konnte dir weiterhelfen
Grüße Cedric
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