Um den ersten Teil deiner Frage zu beantworten:

z:=Re(z)+Im(z)*i
ž:=Re(z)-Im(z)*i
i^2:=-1

Wenn man 1/z mit ž erweitert, um das i aus dem Nenner zu bekommen, erhält man mit a=Re(z) und b=Im(z) zunächst:

1/z=1/(a+bi)=(a-bi)/[(a+bi)(a-bi)]=

// An dieser Stelle multiplizieren wir den Nenner aus(, um mit der 3. Binomischen Formel das i zu "entfernen"):

=(a-bi)/(a^2-abi+bia-(bi)^2)=

// da abi=bia gilt, gilt: -abi+bia=0
Weiter: i^2=-1 <=> (bi)^2=b^2*i^2=b^2*(-1)=-b^2

=(a-bi)/[a^2-(-b^2)]=(a-bi)/(a^2+b^2)=

// Hier machen wir uns die definitionen und sätze der complexen zahlen zu Nutze:
(a-bi)=ž (ich weiß noch nicht wie ich z quer sonst schreiben soll)
|z|=wurzel aus Re(z)^2 + Im(z)^2=wurzel aus a^2+b^2
Quadriert ergibt das:
a^2+b^2=|z|^2

=ž/(|z|^2)
.
Ich hoffe das beantwortet diesen Teil. Ich entschuldige das amateurhafte schreiben von Formeln, aber ich denke man kann es lesen. :)