Komplexe Zahlen Lösungen nachvollziehen

Erste Frage Aufrufe: 197     Aktiv: 17.11.2023 um 06:57

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Ich habe von der Uni dieses Blatt zu komplexen Zahlen mit den Lösungen in rot.
Dabei bin ich über die markierten Stelle  gestolpert. 
Wie kommt man auf die den Bruch, den ich unterstrichen habe mit ("z"*/|z|^2)
Und warum sind die markierten Aussagen wahr/ falsch. Zum Beispiel der Winkel ist ja als "0" definiert. Und bei der Multiplikation, bzw. Division werden die Winkel addiert, bzw. subtrahiert. ?
Danke für Antworten im Vorraus! :)
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Um den ersten Teil deiner Frage zu beantworten:

z:=Re(z)+Im(z)*i
ž:=Re(z)-Im(z)*i
i^2:=-1

Wenn man 1/z mit ž erweitert, um das i aus dem Nenner zu bekommen, erhält man mit a=Re(z) und b=Im(z) zunächst:

1/z=1/(a+bi)=(a-bi)/[(a+bi)(a-bi)]=

// An dieser Stelle multiplizieren wir den Nenner aus(, um mit der 3. Binomischen Formel das i zu "entfernen"):

=(a-bi)/(a^2-abi+bia-(bi)^2)=

// da abi=bia gilt, gilt: -abi+bia=0
Weiter: i^2=-1 <=> (bi)^2=b^2*i^2=b^2*(-1)=-b^2

=(a-bi)/[a^2-(-b^2)]=(a-bi)/(a^2+b^2)=

// Hier machen wir uns die definitionen und sätze der complexen zahlen zu Nutze:
(a-bi)=ž (ich weiß noch nicht wie ich z quer sonst schreiben soll)
|z|=wurzel aus Re(z)^2 + Im(z)^2=wurzel aus a^2+b^2
Quadriert ergibt das:
a^2+b^2=|z|^2

=ž/(|z|^2)
.
Ich hoffe das beantwortet diesen Teil. Ich entschuldige das amateurhafte schreiben von Formeln, aber ich denke man kann es lesen. :)
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Das Forum unterstützt LaTeX. Setze den Code dafür zwischen Dollarzeichen. Und willkommen. :)   ─   cauchy 16.11.2023 um 20:08

Ah vielen Dank. Ich hatte es probiert, aber auf die $ bin ich nicht gekommen. 👍   ─   b0b 17.11.2023 um 06:57

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