Guten Tag,

ich muss für einen Beweis folgende Bedingung beweisen, aber bin mir noch nicht wirklich sicher wie: 

Sei $g : [0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ eine stetige Funktion. Es gilt $g(0)<0$ und $g(1)>0$ mit $g(x)=x-f(x)$.

Man wähle $a>0$ und $b<1$ so, dass $g(x)<0$ für $0 \leq x \leq a$ und $g(x)>0$ für $b \leq x \leq 1$.

Definiere nun f durch $$ f(x)=x+ \lambda g(x)$$

wobei $\lambda = max \{-\frac{a}{M} , \frac{1-b}{m}\} (<0)$ und M ist die obere Schranke und m die untere Schranke von g.



Ich möchte nun zeigen, dass f das Intervall [0,1] auf [0,1] abbildet. Setze ich beispielsweise 0 in f ein habe ich ja:
$f(0)=0+ \lambda g(0)=0+ irgendwas$ da $\lambda$ negativ ist und $g(0)$, aber woher weiß ich, dass $\lambda$ klein genug ist, dass ich nicht etwas größer als 1 addiere?
Und wie gehe ich bei den restlichen unendlich Werten vor, die nicht die Ränder sind?