Zz: Funktion bildet Intervall [0,1] auf sich selbst ab

Aufrufe: 129     Aktiv: 09.08.2022 um 17:44

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Guten Tag,

ich muss für einen Beweis folgende Bedingung beweisen, aber bin mir noch nicht wirklich sicher wie: 

Sei $g : [0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ eine stetige Funktion. Es gilt $g(0)<0$ und $g(1)>0$ mit $g(x)=x-f(x)$.

Man wähle $a>0$ und $b<1$ so, dass $g(x)<0$ für $0 \leq x \leq a$ und $g(x)>0$ für $b \leq x \leq 1$.

Definiere nun f durch $$ f(x)=x+ \lambda g(x)$$

wobei $\lambda = max \{-\frac{a}{M} , \frac{1-b}{m}\} (<0)$ und M ist die obere Schranke und m die untere Schranke von g.



Ich möchte nun zeigen, dass f das Intervall [0,1] auf [0,1] abbildet. Setze ich beispielsweise 0 in f ein habe ich ja:
$f(0)=0+ \lambda g(0)=0+ irgendwas$ da $\lambda$ negativ ist und $g(0)$, aber woher weiß ich, dass $\lambda$ klein genug ist, dass ich nicht etwas größer als 1 addiere?
Und wie gehe ich bei den restlichen unendlich Werten vor, die nicht die Ränder sind?
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Prüf das nochmal: $b<1$ hat $\frac{1-b}m>0$ zur Folge und damit $\lambda=\frac{1-b}m$.   ─   mikn 08.08.2022 um 17:45

Hinter dem <0 beim max ist ein Ausrufezeichen, also meint der Autor damit dass das eine Bedingung sein soll?

Ich habe nochmal alles geprüft und so steht es in meiner Quelle
  ─   walterfrosch 09.08.2022 um 14:19

Vielleicht als wichtige von mir ausgelassen Information. Ziel ist es mit dem Fixpunktsatz von Brouwer (im eindimensionalen) den Zwischenwertsatz bzw. den Nullstellensatz zu zeigen.
Deswegen wird auch g(0)=0 und g(1)=0 ignoriert.
  ─   walterfrosch 09.08.2022 um 14:24

Zu besseren Übersicht stelle ich die Frage nochmal neu mit allen Informationen. Sorry.   ─   walterfrosch 09.08.2022 um 14:34

Ich hatte $m<0$ übersehen, dann gibt es kein Problem. $<0!$ bedeutet nur $<0$, und dass man, wenn man das braucht, das noch zeigen müsste (ist aber klar, da beide Zahlen in der Def. von $\lambda$ ja $<0$ sind).
Noch was: Du fragst nach "Abbildung auf sich". In der Originalfrage steht aber "Abbildung in sich". Das ist nicht das gleiche.
  ─   mikn 09.08.2022 um 17:02
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