Wir definieren hier die Zufallsvariable X :={die Augenzahl 6} X~B(n,p,k} also X ist Binomialverteilt mit n = 30, p = 5/30 = 1/6

a) Somit ergibt sich der Erwartete Gewinn aus der Formel  E(Gewinn) = \(\sum_{k=0}^5 € {\binom {n}{k}}p^k(1-p)^{n-k}\)

Also du muss hier für € das einsetzen, was der Spieler gewinnt, und mit der Wahrscheinlichkeit des Gewinns multiplizieren. 

Bevor ich das Formell schreibe, erkläre es dir in Worte: -1 € mal die Wahrscheinlichkeit, das keine 6 kommt, +1€ mal die Wahrscheinlichkeit das eine 6 fällt, +2€ mal die Wahrscheinlichkeit dass  zwei 6 er fallen, +3 € mal die Wahrscheinlichkeit dass  drei 6 er fallen, +4 € mal die Wahrscheinlichkeit dass  vier 6 er fallen, +5€ mal die Wahrscheinlichkeit dass  zwei fünf 6er fallen.

Die Gewinnerwartung beträgt also: E(Gewinn) = \(-1 {\binom {30}{0}}1/6^0 5/6^{30}+1 {\binom {30}{1}}1/6^0 5/6^{29}+2{\binom {30}{2}}1/6^0 5/6^{28}+3 {\binom {30}{3}}1/6^0 5/6^{27}+4 {\binom {30}{4}}1/6^0 5/6^{26}+5 {\binom {30}{5}}1/6^0 5/6^{25}\)

E(Gewinn)= -1 x 0,0042 + 1 x 0,0253 + 2 x 0,07340 + 3 x 0,1369 +4 x 0,1848 +5 x 0,1921 = 2,2783

Also das Spiel ist für den Spieler mehr als fair, da er im Durchschnitt 2,2783 Euro pro Runde gewinnen wird. 

b) Im statistischn Sinne ist ein Spiel dann fair, wenn niemand gewinnt oder verliert.

Die Frage stellt sich also, wie können wir E(Gewinn) = 0 werden lassen?

Naja, dass kann auf mehrere Arten bewirkt werden. Eine davon wäre die Folgende: 

Wir lassen den Spieler alles zurückzahlen, was er bis zu einem Zeitpunkt gewonnen hat. Lass uns dafür berechnen, was die Gewinnerwartung des spielers wäre, wenn bei 4 Würfeln die 6 er zählen? Antwort: 2,2783 - (5 x 0,1921) = 1,3178

Also eine Faires Spiel lautet: Wenn 5 mal die 6 kommt, soll der Spieler 1,3178 € nachzahlen.

Diese Variante macht aber nur Theoretisch Sinn. 

Sinnvoller wäre, den Einsatz des Spielers von Anfang an so zu regeln, dass das Spiel fair ist. Und das erreicht man indem sein Einsatz genauso hoch berechnet wird, wie sein vermeintlichen Gewinn. 

1 x 0,0253 + 2 x 0,07340 + 3 x 0,1369 +4 x 0,1848 +5 x 0,1921 = 2,2783 + 1 x 0,0042 = 3,2825

Der Spieler soll zwar nach wie vor je einem Euro für jede gefallene 6 erhalten, sein Einsatz vor dem Würfeln soll aber nicht 1 sondern 3,2825 Euro betragen