Folgen Aufgabe

Aufrufe: 169     Aktiv: 17.04.2022 um 14:29

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 Diese Aufgabe habe ich eben bearbeitet. Nur da diese Thema neu ist bin ich mir unsicher ob die lösung von mir stimmt. 


Stimmt dieses Ergebnis von mir?
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gefragt

Punkte: 10

 

Hallo
Sorry ich sehe nicht wirklich was du hier gemacht hast, du hast ja nicht dass $x_n>K$ für alle $n>N$. Was ist $\epsilon$ bei dir?

Und du hast da einen Fehler gemacht als du gesagt hast $\sqrt{n+1}= n^{1/2}+1^{1/2}$. Das stimmt gar nicht, nehmen wir $n=3$ dann hast du $\sqrt{n+1}=2$ aber $n^{1/2}+1^{1/2}=1+\sqrt{3}=2.83205...$
  ─   karate 16.04.2022 um 20:11

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Wäre ja schön, wenn da eine Ungleichung wäre, da steht allerdings $\sqrt{n+1}=n^{\frac{1}{2}}+1^{\frac{1}{2}}$.   ─   cauchy 16.04.2022 um 20:20

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Nur ein Tipp. Wie @fix schon gesagt hat, du musst einfach das ganze abschätzen und benutzen dass die Wurzelfunktion streng monoton wachsend ist.

Nun ein guter Trick den ich dir ans Herz legen würde, wenn du Ungleichungen mit Wurzeln anschaust, kannst du natürlich auch immer deren Quadrate betrachten. Sprich hier hättest du auch $(x_n)^2>K^2$ beweisen können. Hier macht es vom Aufwand her keinen Unterschied, doch bei anderen Aufgaben könnte das bedeutend einfacher sein als die Ungleichungen mit Wurzeln abzuschätzen. (Aber das nur als Tipp für die Zukunft)
  ─   karate 16.04.2022 um 20:27
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Wie immer: $(a+b)^x \neq a^x+b^x$! Ansonsten passt das hier überhaupt nicht zur Aufgabe. 

Zu zeigen ist $x_n>K$ für alle $n>N=K^2$. Was das nun mit $x_n<\varepsilon$ zu tun hat, ist völlig unklar. Setze $x_n$ ein und schätz den Ausdruck nach unten ab, indem du ausnutzt, dass $n>K^2$ gilt.
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Selbstständig, Punkte: 22.19K

 

ich habe das nun mal gemacht. meine Lösung wäre nun dann K^4


stimmt dies ?
  ─   user2dd5f8 17.04.2022 um 12:12

k^4=n+1   ─   user2dd5f8 17.04.2022 um 12:18

Hallo
Nein, das stimmt nicht wieso kommst du denn auf $K^4$?
Also nochmals du musst zeigen, dass $x_n>K$ für alle $n> K^2$. Sprich du nimmst ein $n>K^2$ beliebig und zeigst dass $x_n>K$. Es ist falsch wenn du zeigen kannst das $x_n>K^4$ ist, denn daraus kannst du nicht für alle $K\in \Bbb{R}$ schliessen dass $x_n>K$, und vor allem sehe ich nicht wieso man das zeigen soll.

Dabei ist $K$ zwar beliebig in $\Bbb{R}$ aber wenn du ein $K$ gewählt hast, dann behandelst du es trotzdem wie eine Konstante.
  ─   karate 17.04.2022 um 12:20

Hast du denn überhaupt scho mal etwas bewiesen, denn es scheint mir dass du das Prinzip hinter einem Beweis noch nicht verstanden hast.   ─   karate 17.04.2022 um 12:21

nein leider hab ich bis jetzt selber noch nichts beweiesen.
Aber vielen dank für den tipp
  ─   user2dd5f8 17.04.2022 um 12:27

Hmm komisch wenn du so eine Aufgabe hast, was studierst du denn?

Also kannst du die Aufgabe nun lösen?
  ─   karate 17.04.2022 um 12:32

1.Semester Maschinenbau. Also das ist halt mein erster eigener Beweis deshalb tu ich mir warscheinlich schwer. ich denke ich bekomme sie jetzt so hin   ─   user2dd5f8 17.04.2022 um 12:34

Aha okei, super und wenn du möchtest dass wir es anschauen, dann kannst du es einfach zur Frage oben hinzufügen und vielleicht hier kurz als Kommentar melden, dass du was hochgeladen hast.   ─   karate 17.04.2022 um 12:39

ich hab nun mal raus n>k^2-1 . Bin hier auf dem richtigen weg ?
  ─   user2dd5f8 17.04.2022 um 13:39

Hallo
Hmm also die Aussage stimmt, aber das hasst du aus der Aufgabe denn $n>K^2>K^2-1$. Aber das bringt dir nichts. Also warte ich versuch dir auch eine Antwort zu schreiben.
  ─   karate 17.04.2022 um 13:42

Ohmann... die anderen aufgaben habe ich echt gut hinbekommen. Aber bei dieser hier steh ich echt auf dem schlauch irgendwie. Hab mich vermutlich verrannt.   ─   user2dd5f8 17.04.2022 um 13:44

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Moin,
wenn K<0 ist, ist die Aufgabe trivial, da die Wurzelfunktion immer \(\ge\)0 ist. Wenn K \(\ge\)0, musst du einfach nur die Bedingung in die Definition der Folge einsetzen: \(x_n=\sqrt{n+1}>\sqrt{N+1}=\sqrt{...}\), für \(n>N\).
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Student, Punkte: 2.02K

 

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Hallo

Nun hier versuche ich auch eine Antwort zu schreiben, ohne dass ich dir die Lösung gebe. 
Wir haben folgende Aufgabe zu beweisen.

Behauptung
Sei $x\in \Bbb{N}\rightarrow \Bbb{R}$, $x_n=\sqrt{n+1}$. Sei $K\in\Bbb{R}$ beliebig und $N:=K^2$. Zeigen Sie, dass für alle $n>N$ gilt $$x_n>K$$ Berücksichtigen Sie, dass $K$ negativ sein kann.

Nun möchte ich dir hier einige Bemerkungen geben, die dir hoffentlich helfen das Ganze zu verstehen.

Bemerkungen
  • Wir haben eine Folge die explizit durch die Vorschrift $x_n=\sqrt{n+1}$ gegeben ist wobei $n\in \Bbb{N}$ ist, ich hoffe das ist klar. 
  • Um eine Aussage im Allgemeinen zu beweisen musst du sozusagen immer die Annahmen/Voraussetzungen erfüllen. Gut wie viele "Freiheiten" haben wir denn Annahmen zu treffen. Lass mal schauen, wir können/müssen K beliebig wählen, also das ist sicherlich mal eine Voraussetzung. Dann $N$ wird in Abhängigkeit von $K$ definiert, also das folgt dann direkt ohne jegliche Freiheiten sobald man $K$ gewählt hat, und dann gibt es ja keine Vorrausetzungen mer. Zusammengefasst in unserem Fall gibt es nur die Voraussetzung, dass der Beweis für ein beliebiges $K\in \Bbb{R}$ gelten soll. Es würde z.B. nicht genügen wenn du die Aussage nur beweist für $K=2$. 
  • Nun werfen wir auch noch kurz einen Blick auf den Tipp (dieser steht nie ohne Grund da und sollte immer verwendet/betrachtet werden). $K$ kann auch negativ sein. Hmm was könnte uns das bringen... vielleicht könnte man den Beweis in zwei Teile zerlegen? Also man zeigt die Aussage stimmt für $K<0$ und separat noch für $K\geq 0$ so wie @fix es gesagt hat.

Na gut nun habe ich alle notwendigen Bemerkungen gemacht. Da es dein erster Beweis ist und das vielleicht ein wenig abstrakt erscheinen mag, möchte ich dir noch eine "Vorlage" für diese Aufgabe geben.

Beweis
Ich betrachte für den Beweis folgende Fälle:
  1. $K<0$
    Hier musst du nun den ersten Teil des Beweises hinschreiben wie @fix es gemacht hat
  2. $K\geq 0$
    Wir definieren $N:=K^2$. Sei nun $n>N=K^2$ beliebig. Dann gilt $$x_n=\sqrt{n+1}>...>K$$ (nun musst du diesen Ausdruck $\sqrt{n+1}$ nach unten abschätzen, sprich du musst schauen dass dieser Ausdruck immer kleiner wird und so dass am Schlss $...>K$) 
Hilft das?
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Student, Punkte: 1.62K

 

Vielen dank für ihre viele Mühe. Ich und mein Komilitone haben es dadurch viel besser jetzt verstanden. Wir hatten einfach das problem das wir nicht genau wussten was wir machen sollen. Vielen Dank für ihre Aufwendige Hilfe!   ─   user2dd5f8 17.04.2022 um 14:18

Kein Problem. Versucht es mal und uploade dann dein Beweis hier als Kommentar, dann können wir das nochmals kontrollieren, falls du das möchtest.   ─   karate 17.04.2022 um 14:29

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