Das im Video gezeigte Verfahren ist ein Sonderfall, bei dem beide Zahlen nah an einer Zehnerpotenz $(10,100,1000,\dots)$ liegen.

Allgemein kannst du aber das vedische Multiplikationsverfahren "vertikal und kreuzweise" verwenden:

Erster Schritt: Teile dir deine Zahlen auf:

$46\cdot 52$

$4 \quad 6\\5\quad 2$

Jetzt machst du drei Rechnungen:
Multipliziere die Zahlen der ersten Spalte miteinander: $4\cdot 5=20$
Multipliziere die Zahlen der zweiten Spalte miteinander: $6\cdot 2=12$
Multipliziere die Zahlen über Kreuz und addiere die Ergebnisse: $4\cdot2 +5\cdot 6=38$

Schreibe die drei Zahlen nebeneinander:

$20\quad 38\quad 12$

Jetzt bildest du von rechts nach links Überträge und addierst: $12$ hat $1$ als Übertrag:

$20\quad 39\quad 2$

$39$ hat $3$ als Übertrag:

$23\quad 9\quad 2$

Das Ergebnis ist $46\cdot52=2392$

Hier ist eine gute Übersicht mit Beispielen und den Sonderfällen: Vedische Mathematik 

In diesem Video sehe ich keine Methode erklärt, sondern nur zwei Beispiele. Worauf diese Rechnung beruht, ist in den Kommentaren bei yt schon erklärt. Man kann das dann auch für $46\cdot 52=(50-4)(50+2)$ anwenden. Ob das analog bei $23\cdot 71$ auch sinnvoll ist, ist eine andere Frage.
Und wie "man" das am Besten (was soll das sein?) oder am schnellsten berechnen kann, ist sehr persönlich. Manche können es schneller so, manche anders. Ich würde es wie in der Schule gelernt berechnen: $23\cdot 71= abc$ mit $c=3\cdot 1, b=2\cdot 1+3\cdot 7 = 3+$ Übertrag $2$, $a= \text{Übertrag } 2+2\cdot 7=16$, also $abc=1632$, geht im Kopf und schnell und sicher.