Kann mir das jemand ererklären? (Ableitung ln)

Erste Frage Aufrufe: 97     Aktiv: 23.07.2021 um 12:05

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Moin,

ich hatte in der Schule keine Ableitungen von ln und jetzt brauche ich es in der Wirtschaftsmathematik. Ich muss ehrlich sagen ich verstehe auch die Videos dazu nicht richtig. Hat jemand eine relativ einfache Erklärung für mich? Am optimalsten wäre es natürlich, wenn jemand dafür ein anderes Beispiel hat, also keine Ahnung z.B. 3*ln(x+4/x), damit die 1 da weg ist.

Grüße
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Da ist eigentlich nicht viel dabei :).

Die Grundregel, die man sich merken muss:
\(f(x) = \ln(x)\)
\(f'(x) = \frac1x\)

Andere Fälle ergeben sich nun aus der Kettenregel etc. Ein weiteres Bsp:

\(g(x) = \ln(4x^2 + 3)\)
\(g'(x) = \frac{1}{4x^2+3} \cdot \left(4x^2+3\right)'\)

Mathematisch aufgeschrieben:
\(f(x) = g(h(x))\)
\(f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x)\)

Dabei ist \(h(x)\) alles was im Logarithmus steht, in obigem Bsp als \(h(x) = 4x^2+3\)


Du findest hier auch noch ne gute Erklärung dazu :): https://studyflix.de/mathematik/ln-ableiten-1851

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Ich bedanke mich vielmals für deine Hilfe!   ─   kai2509 23.07.2021 um 12:05

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Moin moin,

Also ich gehe nun mal davon aus, dass du dich aber allgemein mit dem Ableiten auskennst.

Nehmen wir als Beispiel gleich deinen vorgeschlagenen Term: $3\cdot \ln(x+\frac{4}{x})$

Wir wenden die Kettenregel an, also zuerst den inneren Term ableiten und dann mit dem äusseren abgeleiteten Term multiplizieren:

Innere Ableitung: $(x+4\cdot \frac{1}{x})' = \underbrace{1\cdot x^0}_{x'} + \underbrace{4\cdot (-1)\cdot x^{-2}}_{(4\cdot \frac{1}{x})'} = 1-\frac{4}{x^2}$

Äussere Ableitung: $(3\cdot \ln \underbrace{z}_{z=x+\frac{4}{x}})' = 3\cdot \frac{1}{z} = \frac{3}{z}$      ($\ln x = \frac{1}{x}$, das musst du der Ableitungstabelle entnehmen!)

Innere und äussere Ableitungen multiplizieren: $(x+4\cdot \frac{1}{x})' \cdot (3\cdot \ln z)' = (1-\frac{4}{x^2}) \cdot \frac{3}{z} = (1-\frac{4}{x^2}) \cdot \frac{3}{x+\frac{4}{x}} = \underline{\underline{ \frac{3(x^2-4)}{x(x^2+4)}}}$

Hilft dir das weiter?

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Vielen Dank!   ─   kai2509 23.07.2021 um 12:05

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