Da ist eigentlich nicht viel dabei :).

Die Grundregel, die man sich merken muss:
\(f(x) = \ln(x)\)
\(f'(x) = \frac1x\)

Andere Fälle ergeben sich nun aus der Kettenregel etc. Ein weiteres Bsp:

\(g(x) = \ln(4x^2 + 3)\)
\(g'(x) = \frac{1}{4x^2+3} \cdot \left(4x^2+3\right)'\)

Mathematisch aufgeschrieben:
\(f(x) = g(h(x))\)
\(f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x)\)

Dabei ist \(h(x)\) alles was im Logarithmus steht, in obigem Bsp als \(h(x) = 4x^2+3\)


Du findest hier auch noch ne gute Erklärung dazu :): https://studyflix.de/mathematik/ln-ableiten-1851

Moin moin,

Also ich gehe nun mal davon aus, dass du dich aber allgemein mit dem Ableiten auskennst.

Nehmen wir als Beispiel gleich deinen vorgeschlagenen Term: $3\cdot \ln(x+\frac{4}{x})$

Wir wenden die Kettenregel an, also zuerst den inneren Term ableiten und dann mit dem äusseren abgeleiteten Term multiplizieren:

Innere Ableitung: $(x+4\cdot \frac{1}{x})' = \underbrace{1\cdot x^0}_{x'} + \underbrace{4\cdot (-1)\cdot x^{-2}}_{(4\cdot \frac{1}{x})'} = 1-\frac{4}{x^2}$

Äussere Ableitung: $(3\cdot \ln \underbrace{z}_{z=x+\frac{4}{x}})' = 3\cdot \frac{1}{z} = \frac{3}{z}$      ($\ln x = \frac{1}{x}$, das musst du der Ableitungstabelle entnehmen!)

Innere und äussere Ableitungen multiplizieren: $(x+4\cdot \frac{1}{x})' \cdot (3\cdot \ln z)' = (1-\frac{4}{x^2}) \cdot \frac{3}{z} = (1-\frac{4}{x^2}) \cdot \frac{3}{x+\frac{4}{x}} = \underline{\underline{ \frac{3(x^2-4)}{x(x^2+4)}}}$

Hilft dir das weiter?