Konvergenz von Folge, Epsilon Beweis

Aufrufe: 326     Aktiv: 21.07.2023 um 14:29

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Hi zusammen. Folgende Aufgabe verstehe ich nicht, trotz Lösungen:


Nach mir wird die Ungleichung n < (1+\epsilon)^n falsch abgeschätzt, müsste man Diese nicht nach oben abschätzen? Vorallem wird dann behauptet, dass die neue Ungleichung stärker ist als die alte, inwiefern? Im Gegenteil, hier wird ja nach unten abgeschätzt, woher kann ich dann wissen, dass mein n immer noch kleiner ist? Versteht ihr mein Verständnisproblem?

 

 
 
 
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Student, Punkte: 93

 
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1 Antwort
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Ich kann da keinen Fehler erkennen. Der Term $\dfrac{n(n-1)}{2}\varepsilon^2$ ist kleiner oder gleich $(1+\varepsilon)^n$ aber trotzdem noch $>n$. Warum zweites gilt kannst du dir ja mal in Ruhe überlegen. Dadurch ist die entstehende Ungleichung "stärker", da man man $n$ damit besser nach oben abschätzen kann. Ein Beispiel dafür ist die Laufzeitabschätzung von Algorithmen. Wenn man eine Abschätzung nach oben findet die kleiner als die vorher bekannte Laufzeitabschätzung ist, so ist diese "stärker".
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Lehrer/Professor, Punkte: 8.97K

 

Für mich heisst 'stärker', dass die Ungleichung zunimmt, was sie meiner Meinung nach nicht tut. Sie soll aber stärker sein, d.h. ich hatte da etwas nicht verstanden und tue es immer noch nicht. Hier ist die Ungleichungskette:
\begin{equation}
n < (1+\epsilon)^n \geq n(n-1)\frac{1}{2}\epsilon^2
\end{equation}
Und wenn wir das mit dem 'stärker' mal vergessen:
Du gibst mir ein festes epsilon und nun wähle ich ein n, ab der diese Kette wahr wird. Aber woher weiss ich, dass alle grösseren n (bis auf endlich viele vorher) ebenfalls diese Ungleichungskette erfüllen, ohne dass ich Ausprobiere und Zahlen einsetze?
  ─   aequus formidus 21.07.2023 um 12:25

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Das ist keine Ungleichungskette, weil die Zeichen entgegen gesetzt sind.
Außerdem muss man sich klar machen: Was hab ich (schon bewiesen)? Was will ich noch beweisen?
Also: wir WOLLEN noch beweisen: $n< (1+\varepsilon)^n$ (solche $n$ suchen wir).
Wir wissen schon: $\frac12n(n-1)\varepsilon^2\le (1+\varepsilon)^n.$
Wenn wir also $n$ gefunden haben, so dass $n<\frac12n(n-1)\varepsilon^2$ erfüllt ist, so ist auch automatisch $n< (1+\varepsilon)^n$ erfüllt.
Eine stärkere (man sagt auch oft "schärfere") Ungleichung ist eine, bei der linke und rechte Seite näher beieinander liegen (als eben eine schwächere).
  ─   mikn 21.07.2023 um 13:11

Erstens hast du da keine Ungleichungskette stehen, es würde lauten:
\[(1+\varepsilon)^n\geq \dfrac{n(n-1)}{2}\varepsilon^2 >n\]
Du hast einen Denkfehler, was bringt es dir denn bei einer Abschätzung von $a$<$b$ eine Grenze nach oben zu finden die noch größer als $b$ ist? Wenn ich ein $c$ finde, für das $c$<$b$ aber $c$>$a$ gilt, ist die Abschätzung $a$<$c$ stärker als $a$<$b$ da sie genauer ist. Wie gesagt, Beispiel Laufzeitabschätzung.
Und nein $\varepsilon >0$ ist beliebig und nicht fest.
  ─   maqu 21.07.2023 um 13:15

Vielen Dank mikn und maqu. Ich glaube, dass ich es nun verstanden habe.
  ─   aequus formidus 21.07.2023 um 14:29

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