Wie kann ich den Nenner und Zähler eines Bruches über eine Funktionsvorschrift erhöhen?

Erste Frage Aufrufe: 628     Aktiv: 13.06.2021 um 13:30
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Ich lerne gerade zum Thema Zahlenfolgen.

Ich habe eine Zahlenfolge, bei der sich der Nenner und Zähler mit jedem Durchlauf um 1 erhöht. Beispiel:

a1 = 1/2
a2 = 2/3
a3 = 3/4
a4 = 4/5 usw.

Die explizite Formel darauf lautet: an = n/n+1

Soweit so gut.

Jetzt versuche ich, eine rekursive Formel abzuleiten, wo ich z.B. a1 Nutze, um a2 rauszubekommen.
Die Idee wäre, den Nenner und Zähler von a1 um 1 zu erhöhen. Beispiel:

an+1 = (Nenner von an + 1) / (Zähler von an +1)

Gibt es da eine Möglichkeit, dass Mathematisch zu realisieren oder ist mein Ansatz falsch?

Viele Grüße
T.H.
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Wenn du Nenner und Zähler als eigenständige Folgen betrachten willst, kannst du zwei Folgen $(p_n)_n$ und $(q_n)_n$ rekursiv definieren durch $$p_1=1,\ p_{n+1}=p_n+1\quad\text{und}\quad q_1=2,\ q_{n+1}=q_n+1$$ und dann $a_n=\frac{p_n}{q_n}$ setzen. Wenn du einfach nur eine rekursive Definition haben willst, bietet sich eher $$a_{n+1}=a_n+(a_{n+1}-a_n)=a_n+\frac{n+1}{n+2}-\frac{n}{n+1}=a_n+\frac1{(n+1)(n+2)}$$ an.
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