Sei \((x,y)\) einer der gesuchten Mittelpunkte. Weil der Kreis um \((x,y)\) durch den Punkt \(A\) verlaufen muss und die Achsen nicht schneidet, sondern nur berührt, müssen \(x,y \ge 0\) sein.

Der Kreis um \((x,y)\) berührt die \(x\)-Achse im Punkt \((x,0)\) und die \(y\)-Achse im Punkt \((0,y)\) (ansonsten würde der Kreis nämlich die Achsen nicht berühren, sondern schneiden). Somit erhalten wir als Radius einerseits \( r=\| (x,y) - (x,0) \| = y\) und andererseits \(r=\| (x,y) - (0,y) \| = x\), also muss \(r=x=y\) sein.

Der Mittelpunkt ist also von der Form \((x,x) \) und der Kreis hat Radius \(x\).

Damit der Kreis durch den Punkt \(A\) verläuft, muss nun \( 2x^2-18x+65 \) \(=(x-8)^2 + (x-1)^2 \) \(= \|(x,x) - (8,1) \|^2 \) \(= r^2 = x^2\) sein bzw. \(x^2 - 18x+65=0 \). Dies liefert \(x=5\) oder \(x=13\).

Die gesuchten Mittelpunkte sind also \((5,5)\) und \((13,13)\). Und die entsprechenden Radien der Kreise sind dann \(5\) und \(13\).