Mengengleichheit mit Teilbarkeitsaussage zeigen

Erste Frage Aufrufe: 239     Aktiv: 08.05.2023 um 19:49
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Tagchen,

ich würde gerne zeigen, dass $\lbrace d \vert \frac{d}{n} \rbrace = \lbrace \frac{n}{d} \vert \frac{d}{n} \rbrace$.

Ich habe in einem ersten Schritt versucht mir das ganze klar zu machen: Die Menge $\lbrace d \vert \frac{d}{n} \rbrace$ besteht aus allen positiven ganzen Zahlen $d$, die $n$ teilen, d.h. $d$ ist ein Teiler von $n$. Die Menge $\lbrace \frac{n}{d} \vert \frac{d}{n} \rbrace$ besteht aus allen Brüchen $\frac{n}{d}$ haben, wobei $d$ ein Teiler von $n$ ist. Das bedeutet, dass $\frac{n}{d}$ eine ganze Zahl ist.

 

Dazu habe ich einfach mal $n=12$ als Beispiel genommen, dann ist die erste Menge: $$\lbrace d \vert \frac{d}{12} \rbrace = \lbrace 1, 2, 3, 4, 6, 12 \rbrace $$ und die zweite Menge sieht so aus: $$\lbrace \frac{n}{d} \vert \frac{d}{n} \rbrace = \lbrace \frac{12}{1}, \frac{12}{2}, \frac{12}{3}, \frac{12}{4}, \frac{12}{6}, \frac{12}{12} \rbrace = \lbrace 12, 6, 4, 3, 2, 1 \rbrace $$

 

Jetzt kommt der Teil mit dem formalisieren. Es ist mir für meinen Anwendungsfall etwas zu umständlich beide Inklusionsrichtungen zu zeigen, deshalb wollte ich mal fragen, ob da jemand ne Idee hat, das anders zu lösen. Ich hatte gehofft, dass man durch die Bijektion $ \phi: \lbrace d \vert \frac{d}{n} \rbrace \rightarrow\lbrace \frac{n}{d} \vert \frac{d}{n} \rbrace \quad \phi(d)=\phi(n/d)$ da irgendetwas zeigen könnte, aber dadurch habe ich ja jetzt erstmal nur die Gleichmächtigkeit der Mengen gewonnen

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Erstmal achte auf korrekte Schreibweisen: $\frac{d}n$, lies "$d$ geteilt durch $n$", ist ein Bruch, keine Aussage(form). $d$ ist Teiler von $n$, oder äquivalent: $d$ teilt $n$, schreibt man als $d| n$, und nur so wird es auch eine Aussage(form).
Zu Deinem Nachweis: Mach es nicht unnötig kompliziert, es reicht hier zu zeigen, dass $d \in M_1$ (sinnvoll, erstmal die Mengen zu bezeichnen) $\implies d\in M_2$. Und dabei merkt man, dass sogar $\iff$ gilt, womit die Gleichheit der Mengen gezeigt ist.
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Um zu zeigen, dass $\{d| d \mid n \}=\{\frac{n}{d}| d \mid n \}$, müssen wir zeigen, dass jedes Element aus der ersten Menge in der zweiten Menge enthalten ist und umgekehrt.

Zunächst betrachten wir ein beliebiges Element $d$ aus $\{d| d \mid n \}$. Das bedeutet, dass $d$ ein Teiler von $n$ ist. Wir möchten zeigen, dass $\frac{n}{d}$ auch ein Teiler von $n$ ist und somit in der Menge $\{\frac{n}{d}| d \mid n \}$ enthalten ist. Da $d$ ein Teiler von $n$ ist, gibt es eine ganze Zahl $k$, sodass $n=dk$. Dann ist $\frac{n}{d} = \frac{dk}{d} = k$, was bedeutet, dass $\frac{n}{d}$ auch ein Teiler von $n$ ist. Daher ist jedes Element aus $\{d| d \mid n \}$ auch in $\{\frac{n}{d}| d \mid n \}$ enthalten.

Nun betrachten wir ein beliebiges Element $\frac{n}{d}$ aus $\{\frac{n}{d}| d \mid n \}$. Das bedeutet, dass es eine ganze Zahl $k$ gibt, sodass $\frac{n}{d}=k$. Dann können wir $n$ als $n=dk$ schreiben, was bedeutet, dass $d$ ein Teiler von $n$ ist. Daher ist jedes Element aus $\{\frac{n}{d}| d \mid n \}$ auch in $\{d| d \mid n \}$ enthalten.

Da wir gezeigt haben, dass jedes Element aus der ersten Menge in der zweiten Menge enthalten ist und umgekehrt, folgt daraus, dass $\{d| d \mid n \}=\{\frac{n}{d}| d \mid n \}$ gilt.

Hoffe man kann die Striche von der Menge und die "geteilt"-Striche unterscheiden   ─   ulrichbeck 08.05.2023 um 19:36
Gut, genauso geht es. Auch gut aufgeschrieben.
Mit den Strichen: Man weiß ja, wie's gemeint ist. Man würde den ersten Strich jeweils länger machen: $\{d\, \big|\, d|n\}$, also \{d\, \big|\, d|n\}. Oder auch mit \Big|

   ─   mikn 08.05.2023 um 19:48

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