Gleichung mit x im Exponenten

Erste Frage Aufrufe: 122     Aktiv: 03.04.2022 um 14:45

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Hallo,

ich komme nicht weiter:

2^× = 1/ln(2)

Wie löst man die Gleichung nach x auf?

Lösung soll x = - ln(ln(2))/ln(2) sein.

Wie kommt man dort hin?

Danke und viele Grüße
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1 Antwort
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Da musst du wirklich nur direkt ln anwenden. Dann noch kurz dafür sorgen, dass x alleine steht.

Ob du das Minus dann noch rausziehst oder nicht, ist meiner Meinung nach dir überlassen. Bedenke, dass ln(a/b) = ln(a) - ln(b), sowie ln(1) = 0. Ist aber zu empfehlen, da es übersichtlicher aussieht.
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Danke. Wäre der nächste Schritt dann beide Seiten *ln nehmen, also x*ln(2) = 1*ln(2)/ln(2)? Danach beide Seiten durch ln(2) teilen: x = 1*ln(2)/ln(2)*ln(2). Dieses Ergebnis entspricht nicht der Lösung laut Lösungsbuch (siehe oben). Ich weiß nicht, was ich falsch mache.   ─   user69a55e 03.04.2022 um 11:47

Du multiplizierst nicht mit ln, sondern du wendest den ln an. Die linke Seite sieht also erstmal so aus:

\(\ln(2^x) \) was du dann richtig zu \(x\cdot \ln(2)\) umgeformt hast.

Bei der rechten Seite hast du aber einfach durch \(\ln(2)\) dividiert, oder wie? Warum? Auch da: Auf die komplette Seite den ln anwenden.
  ─   orthando 03.04.2022 um 12:05

Ja, weil ich nicht weiß, wie man den ln anwendet...jetzt ahne ich es, vielleicht: x*ln(2) = ln(1)/ln(ln2))
x*ln(2) = ln(1) - ln(ln(2))
x*ln(2) = 0 - ln(ln(2))
x = - ln(ln(2))/ln(2)
  ─   user69a55e 03.04.2022 um 12:52

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Auch das ist falsch. Bedenke, wenn du etwas mit einer Seite tust, dann tu es IMMER mit der kompletten Seite. Dabei kannst du dir die Seite gerne als in Klammern gehüllt vorstellen (bei mir eckig). So wird also ein Schuh daraus:

\([2^x] = \left[\frac{1}{ln(2)}\right] \quad |\ln\)
\(\ln([2^x]) = \ln\left(\left[\frac{1}{\ln(2)}\right]\right) \quad | \text{mit } \ln(a/b) = \ln(a) - \ln(b)\)
\(x\ln(2) = \ln(1) - \ln(\ln(2))\)

Das solltest du dir unbedingt merken, gerne auch mit dem Klammertrick! Das ist eine der wichtigsten Umformungsregeln bei Gleichungen!

Von hier kommst vollends allein weiter, oder? :)
  ─   orthando 03.04.2022 um 13:40

Super, vielen Dank!!! :) Der Tag ist gerettet.   ─   user69a55e 03.04.2022 um 14:45

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